Curvatura escalar

En la geometría de Riemann , la curvatura escalar (o el escalar de Ricci ) es la invariante de curvatura más simple de una variedad de Riemann . A cada punto de una variedad de Riemann, le asigna un único número real determinado por la geometría intrínseca de la variedad cerca de ese punto. Específicamente, la curvatura escalar representa la cantidad por la cual el volumen de una pequeña bola geodésica en una variedad de Riemann se desvía del de la bola estándar en el espacio euclidiano . En dos dimensiones, la curvatura escalar es el doble de la curvatura gaussiana., y caracteriza completamente la curvatura de una superficie. Sin embargo, en más de dos dimensiones, la curvatura de las variedades de Riemann implica más de una cantidad funcionalmente independiente.

En relatividad general , la curvatura escalar es la densidad lagrangiana para la acción de Einstein-Hilbert . Las ecuaciones de Euler-Lagrange para este lagrangiano bajo variaciones en la métrica constituyen las ecuaciones de campo de Einstein al vacío , y las métricas estacionarias se conocen como métricas de Einstein . La curvatura escalar de un colector n se define como la traza del tensor de Ricci , y se puede definir como n ( n - 1) veces el promedio de las curvaturas seccionales en un punto.

A primera vista, la curvatura escalar en dimensión al menos 3 parece ser una invariante débil con poca influencia en la geometría global de una variedad, pero de hecho algunos teoremas profundos muestran el poder de la curvatura escalar. Uno de esos resultados es el teorema de la masa positiva de Schoen , Yau y Witten . Los resultados relacionados dan una comprensión casi completa de qué variedades tienen una métrica de Riemann con curvatura escalar positiva.

La curvatura escalar S (comúnmente también R o Sc ) se define como la traza del tensor de curvatura de Ricci con respecto a la métrica :

La traza depende de la métrica ya que el tensor de Ricci es un tensor (0,2) -valente; primero se debe elevar un índice para obtener un tensor (1,1) -valente con el fin de tomar la traza. En términos de coordenadas locales, se puede escribir

donde están los símbolos de Christoffel de la métrica, y es la derivada parcial de en la i -ésima dirección de coordenadas. ${\ Displaystyle {\ Gamma ^ {a}} _ {bc}}$ ${\ Displaystyle {\ Gamma ^ {l}} _ {jk, i}}$ ${\ Displaystyle {\ Gamma ^ {l}} _ {jk}}$