En matemáticas y física matemática , subir y bajar índices son operaciones sobre tensores que cambian de tipo . Los índices ascendentes y descendentes son una forma de manipulación de índices en las expresiones tensoriales.
Tipo de tensor
Dado un campo tensorial en una variedad M , en presencia de una forma no singular en M (como una métrica de Riemannian o una métrica de Minkowski ), se pueden subir o bajar índices para cambiar un tensor de tipo ( a , b ) a a ( a + 1, b - 1) tensor (índice de aumento) o a un ( a - 1, b + 1) tensor (índice inferior), donde la notación ( un , b ) se ha usado para denotar la orden tensor un + b con una índices superiores yb índices inferiores.
Uno hace esto multiplicando por el tensor métrico covariante o contravariante y luego contrayendo los índices, lo que significa que dos índices se igualan y luego se suman sobre los índices repetidos (aplicando la notación de Einstein ). Vea los ejemplos a continuación.
Vectores (tensores de orden 1)
Multiplicar por el tensor métrico contravariante g ij y contraer produce otro tensor con un índice superior:
El mismo símbolo base se usa típicamente para denotar este nuevo tensor, y reposicionar el índice generalmente se entiende en este contexto para referirse a este nuevo tensor, y se llama elevar el índice , que se escribiría
De manera similar, multiplicar por el tensor métrico covariante y contraer reduce un índice (con la misma comprensión sobre la reutilización del símbolo base):
No es necesario que la forma g ij sea no singular para bajar un índice, pero para obtener la inversa (y así elevar un índice) debe ser no singular.
Subir y luego bajar el mismo índice (o viceversa) son operaciones inversas, lo que se refleja en que los tensores métricos covariantes y contravariantes son inversos entre sí:
donde δ i k es la matriz de identidad o delta de Kronecker . Dado que hay diferentes opciones de métrica con diferentes firmas métricas (signos a lo largo de los elementos diagonales, es decir, componentes tensores con índices iguales), el nombre y la firma generalmente se indican para evitar confusiones. Los diferentes autores utilizan diferentes métricas y firmas por diferentes razones.
De manera nemotécnica (aunque incorrectamente ), uno podría pensar en índices "cancelando" entre una métrica y otro tensor, y la métrica subiendo o bajando el índice. En los ejemplos anteriores, tales "cancelaciones" y "pasos" son como
Nuevamente, aunque es una guía útil, esto es solo mnemotécnico y no una propiedad de los tensores, ya que los índices no se cancelan como en las ecuaciones, es solo un concepto de la notación. Los resultados continúan a continuación, para tensores de orden superior (es decir, más índices).
Al elevar índices de cantidades en el espacio-tiempo, ayuda a descomponer las sumas en "componentes temporales" (donde los índices son cero) y "componentes espaciales" (donde los índices son 1, 2, 3, representados convencionalmente por letras latinas).
Un ejemplo del espacio-tiempo de Minkowski
La posición 4 covariante está dada por
con componentes:
(donde x , y , z son las coordenadas cartesianas habituales ) y el tensor métrico de Minkowski con firma (- + + +) se define como
en componentes:
Para subir el índice, multiplica por el tensor y contrae:
entonces para λ = 0 :
y para λ = j = 1, 2, 3 :
Entonces, la posición 4 contravariante de índice elevado es:
Tensores (orden superior)
Orden 2
Para un tensor de orden 2, [1] multiplicar dos veces por el tensor métrico contravariante y contraer en diferentes índices eleva cada índice:
y multiplicar dos veces por el tensor métrico covariante y contraer en diferentes índices reduce cada índice:
Un ejemplo del electromagnetismo clásico y la relatividad especial.
El tensor electromagnético contravariante en la firma (+ - - -) viene dado por [2]
en componentes:
Para obtener el tensor covariante F αβ , multiplica por el tensor métrico y contrae:
y como F 00 = 0 y F 0 i = - F i 0 , esto se reduce a
Ahora para α = 0 , β = k = 1, 2, 3 :
y por antisimetría, para α = k = 1, 2, 3 , β = 0 :
luego finalmente para α = k = 1, 2, 3 , β = l = 1, 2, 3 ;
El tensor de índice inferior (covariante) es entonces:
Orden n
Cuando un espacio vectorial está equipado con un producto interno (o métrica, como se le llama a menudo en este contexto), existen operaciones que convierten un índice contravariante (superior) en un índice covariante (inferior) y viceversa. Una métrica en sí es un (simétrico) (0,2) -tensor, por lo que es posible contraer un índice superior de un tensor con uno de los índices inferiores de la métrica. Esto produce un nuevo tensor con la misma estructura de índice que el anterior, pero con índice más bajo en la posición del índice superior contraído. Esta operación se conoce gráficamente como bajar un índice. Por el contrario, una métrica tiene una inversa que es un (2,0) -tensor. Esta métrica inversa se puede contraer con un índice inferior para producir un índice superior. Esta operación se llama elevar un índice.
Para un tensor de orden n , los índices se elevan en (compatible con lo anterior): [1]
y bajado por:
y para un tensor mixto:
Ver también
Referencias
- ↑ a b Kay, DC (1988). Cálculo de tensor . Contornos de Schaum. Nueva York: McGraw Hill. ISBN 0-07-033484-6.
- ^ NB: Algunos textos, como: Griffiths, David J. (1987). Introducción a las partículas elementales . Wiley, John & Sons, Inc. ISBN 0-471-60386-4., mostrará este tensor con un factor general de -1. Esto se debe a que usaron el negativo del tensor métrico usado aquí: (- + + +) , vea la firma métrica . En textos más antiguos como Jackson (2ª edición), no hay factores de c, ya que utilizan unidades gaussianas . Aquí se utilizan unidades SI .