En matemáticas, el teorema de Riemann-Roch para superficies describe la dimensión de sistemas lineales en una superficie algebraica . La forma clásica fue dada por primera vez por Castelnuovo ( 1896 , 1897 ), después de que Max Noether ( 1886 ) y Enriques ( 1894 ) encontraran versiones preliminares . La versión teórica de la gavilla se debe a Hirzebruch.
Campo | Geometría algebraica |
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Primera prueba por | Guido Castelnuovo , Max Noether , Federigo Enriques |
Primera prueba en | 1886, 1894, 1896, 1897 |
Generalizaciones | Teorema del índice de Atiyah-Singer Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch |
Consecuencias | Teorema de Riemann-Roch |
Declaración
Una forma del teorema de Riemann-Roch establece que si D es un divisor en una superficie proyectiva no singular, entonces
donde χ es la característica holomórfica de Euler , el punto. es el número de intersección y K es el divisor canónico. La constante χ (0) es la característica holomórfica de Euler del paquete trivial, y es igual a 1 + p a , donde p a es el género aritmético de la superficie. A modo de comparación, el teorema de Riemann-Roch para una curva establece que χ ( D ) = χ (0) + deg ( D ).
Fórmula de Noether
La fórmula de Noether establece que
donde χ = χ (0) es la holomorphic característica de Euler, c 1 2 = ( K . K ) es un número Chern y el número de auto-intersección de la clase canónica K , y e = c 2 es la característica de Euler topológico. Puede usarse para reemplazar el término χ (0) en el teorema de Riemann-Roch con términos topológicos; esto da el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch para superficies.
Relación con el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch
Para superficies, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es esencialmente el teorema de Riemann-Roch para superficies combinado con la fórmula de Noether. Para ver esto, recordemos que para cada divisor D sobre una superficie existe una gavilla invertible L = O ( D ) tal que el sistema lineal de D es más o menos el espacio de secciones de L . Para superficies, la clase Todd es, y el carácter Chern de la gavilla L es simplemente, por lo que el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch establece que
Afortunadamente, esto se puede escribir de una forma más clara de la siguiente manera. Primero poner D = 0 muestra que
- (Fórmula de Noether)
Para las poleas invertibles (haces de líneas), la segunda clase Chern desaparece. Los productos de las segundas clases de cohomología se pueden identificar con números de intersección en el grupo Picard , y obtenemos una versión más clásica de Riemann Roch para superficies:
Si queremos, podemos usar la dualidad de Serre para expresar h 2 (O ( D )) como h 0 (O ( K - D )), pero a diferencia del caso de las curvas, en general no hay una manera fácil de escribir h 1 ( O ( D )) término en una forma que no involucra la cohomología de la gavilla (aunque en la práctica a menudo desaparece).
Versiones tempranas
Las primeras formas del teorema de Riemann-Roch para superficies a menudo se establecían como una desigualdad en lugar de una igualdad, porque no había una descripción geométrica directa de los primeros grupos de cohomología. Un ejemplo típico lo da Zariski (1995 , p. 78), que afirma que
dónde
- r es la dimensión del sistema lineal completo | D | de un divisor D (entonces r = h 0 (O ( D )) −1)
- n es el grado virtual de D , dada por el número de auto-intersección ( D . D )
- π es el género virtual de D , igual a 1 + (DD + KD) / 2
- p a es el género aritmético χ (O F ) - 1 de la superficie
- i es el índice de especialidad de D , igual a dim H 0 (O ( K - D )) (que por dualidad de Serre es lo mismo que dim H 2 (O (D))).
La diferencia entre los dos bandos de esta desigualdad se llamó los sobreabundancia s del divisor D . La comparación de esta desigualdad con la versión teórica de la gavilla del teorema de Riemann-Roch muestra que la superabundancia de D está dada por s = dim H 1 (O ( D )). El divisor D se llamó regular si i = s = 0 (o en otras palabras, si todos los grupos de cohomología superior de O ( D ) desaparecen) y superabundante si s > 0.
Referencias
- Métodos topológicos en geometría algebraica por Friedrich Hirzebruch ISBN 3-540-58663-6
- Zariski, Oscar (1995), Superficies algebraicas , Clásicos de las matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58658-6, MR 1336146