En matemáticas , específicamente en geometría algebraica , el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch es un resultado de gran alcance en cohomología coherente . Es una generalización del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , sobre variedades complejas , que en sí mismo es una generalización del teorema clásico de Riemann-Roch para haces de líneas en superficies compactas de Riemann .
Campo | Geometría algebraica |
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Primera prueba por | Alexander Grothendieck |
Primera prueba en | 1957 |
Generalizaciones | Teorema del índice de Atiyah-Singer |
Consecuencias | Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch Teorema de Riemann-Roch para superficies Teorema de Riemann-Roch |
Los teoremas del tipo de Riemann-Roch relacionan las características de Euler de la cohomología de un paquete de vectores con sus grados topológicos , o más generalmente sus clases características en (co) homología o análogos algebraicos de los mismos. El teorema clásico de Riemann-Roch hace esto para curvas y paquetes de líneas, mientras que el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch lo generaliza a paquetes vectoriales sobre variedades. El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch establece ambos teoremas en una situación relativa de un morfismo entre dos variedades (o esquemas más generales ) y cambia el teorema de un enunciado sobre un solo haz a uno que se aplica a complejos de cadenas de haces .
El teorema ha sido muy influyente, sobre todo para el desarrollo del teorema del índice de Atiyah-Singer . Por el contrario, los análogos analíticos complejos del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch pueden probarse utilizando el teorema del índice para familias. Alexander Grothendieck dio una primera prueba en un manuscrito de 1957, publicado más tarde. [1] Armand Borel y Jean-Pierre Serre redactaron y publicaron la prueba de Grothendieck en 1958. [2] Más tarde, Grothendieck y sus colaboradores simplificaron y generalizaron la prueba. [3]
Formulación
Sea X un esquema cuasi-proyectivo uniforme sobre un campo . Bajo estos supuestos, el grupo Grothendieck de complejos acotados de haces coherentes es canónicamente isomorfo al grupo de Grothendieck de complejos acotados de haces de vectores de rango finito. El uso de este isomorfismo, tenga en cuenta el carácter de Chern (una combinación racional de las clases de Chern ) como un funtorial transformación:
dónde es el grupo de ciclos de Chow sobre X de dimensión d módulo de equivalencia racional , tenso con los números racionales . En caso de que X se defina sobre los números complejos , el último grupo se asigna al grupo de cohomología topológica :
Ahora considere un morfismo adecuado entre esquemas cuasi-proyectivos suaves y un complejo acotado de gavillas en
El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch relaciona el mapa de empuje hacia adelante
(suma alterna de imágenes directas más altas ) y el empuje hacia adelante
por la fórmula
Aquí es el género Todd de (el paquete de la tangente de) X . Por lo tanto, el teorema da una medida precisa de la falta de conmutatividad de llevar el empuje hacia adelante en los sentidos anteriores y el carácter de Chern y muestra que los factores de corrección necesarios dependen de X e Y únicamente. De hecho, dado que el género Todd es funcional y multiplicativo en secuencias exactas , podemos reescribir la fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch como
dónde es la gavilla tangente relativa de f , definida como el elemento en . Por ejemplo, cuando f es un morfismo suave ,es simplemente un paquete vectorial, conocido como paquete tangente a lo largo de las fibras de f .
Usando la teoría de la homotopía A 1 , el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch ha sido extendido por Navarro y Navarro (2017) a la situación en la que f es un mapa adecuado entre dos esquemas suaves.
Generalizar y especializar
Se pueden hacer generalizaciones del teorema al caso no uniforme considerando una generalización apropiada de la combinación y al caso no propio considerando la cohomología con soporte compacto .
El teorema aritmético de Riemann-Roch extiende el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch a los esquemas aritméticos .
El teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es (esencialmente) el caso especial donde Y es un punto y el campo es el campo de números complejos.
La versión del teorema de Riemann-Roch para las teorías de cohomología orientada fue probada por Ivan Panin y Alexander Smirnov. [4] Se ocupa de operaciones multiplicativas entre teorías de cohomología orientadas algebraica (como el cobordismo algebraico ). Grothendieck-Riemann-Roch es un caso particular de ello, y el personaje de Chern surge de forma natural en ese escenario. [5]
Ejemplos de
Paquetes de vectores en una curva
Un paquete de vectores de rango y grado (definido como el grado de su determinante; o equivalentemente el grado de su primera clase Chern) en una curva proyectiva suave sobre un campo tiene una fórmula similar a la de Riemann-Roch para paquetes de líneas. Si tomamos y un punto, entonces la fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch puede leerse como
por eso
- [6]
Esta fórmula también es válida para gavillas coherentes de rango. y grado .
Mapas adecuados suaves
Una de las ventajas de la fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch es que puede interpretarse como una versión relativa de la fórmula de Hirzebruch-Riemann-Roch. Por ejemplo, un morfismo suave tiene fibras que son todas equidimensionales (e isomorfas como espacios topológicos cuando la base cambia a ). Este hecho es útil en la teoría de módulos cuando se considera un espacio de módulos.parametrizar espacios adecuados y lisos. Por ejemplo, David Mumford usó esta fórmula para deducir relaciones del anillo de Chow en el espacio de módulos de curvas algebraicas . [7]
Módulos de curvas
Para la pila de módulos del género curvas (y sin puntos marcados) hay una curva universal dónde (es la pila de módulos de curvas del género y un punto marcado. Luego, define las clases tautológicas
dónde y es la gavilla de dualización relativa. Tenga en cuenta la fibra desobre un punto esta es la gavilla dualizadora . Pudo encontrar relaciones entre los y describiendo el en términos de una suma de [7] (corolario 6.2) en el anillo de comidadel locus liso utilizando Grothendieck-Riemann-Roch. Porquees una pila suave de Deligne-Mumford , consideró una cobertura por un esquema que presenta para un grupo finito . Utiliza Grothendieck-Riemann-Roch en Llegar
Porque
esto da la fórmula
El cálculo de luego se puede reducir aún más. En dimensiones pares,
Además, en la dimensión 1,
dónde es una clase en el límite. En el caso y en el lugar liso hay las relaciones
que se puede deducir analizando el carácter Chern de .
Incrustación cerrada
Incrustaciones cerradas tienen una descripción que utiliza también la fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch, que muestra otro caso no trivial en el que se cumple la fórmula. [8] Para una variedad suave de dimensión y una subvariedad de codimensión , existe la fórmula
Usando la secuencia exacta corta
- ,
ahí está la fórmula
para la gavilla ideal ya que .
Aplicaciones
Cuasiproyectividad de los espacios modulos
Grothendieck-Riemann-Roch se puede utilizar para demostrar que un espacio de módulos gruesos , como el espacio de módulos de curvas algebraicas puntiagudas , admite una incrustación en un espacio proyectivo, por lo tanto, es una variedad cuasi proyectiva . Esto se puede lograr mirando las poleas asociadas canónicamente eny estudiar el grado de paquetes de líneas asociados. Por ejemplo,[9] tiene la familia de curvas
con secciones
correspondiente a los puntos marcados. Dado que cada fibra tiene el paquete canónico, existen los paquetes de líneas asociados
es un conjunto de líneas amplio [9] pg 209 , de ahí el espacio de módulos gruesos es cuasi proyectivo.
Historia
La versión de Alexander Grothendieck del teorema de Riemann-Roch se transmitió originalmente en una carta a Jean-Pierre Serre alrededor de 1956-1957. Se hizo público en el Bonn Arbeitstagung inicial , en 1957. Serre y Armand Borel organizaron posteriormente un seminario en la Universidad de Princeton para comprenderlo. El artículo final publicado fue en efecto la exposición Borel-Serre.
La importancia del enfoque de Grothendieck se basa en varios puntos. Primero, Grothendieck cambió el enunciado en sí: el teorema se entendía, en ese momento, como un teorema sobre una variedad , mientras que Grothendieck lo veía como un teorema sobre un morfismo entre variedades. Al encontrar la generalización correcta, la demostración se volvió más simple mientras que la conclusión se volvió más general. En resumen, Grothendieck aplicó un fuerte enfoque categórico a un análisis difícil . Además, Grothendieck introdujo los grupos K , como se discutió anteriormente, que allanaron el camino para la teoría K algebraica .
Ver también
- Fórmula de Riemann-Roch de Kawasaki
Notas
- ^ A. Grothendieck. Classes de faisceaux et théorème de Riemann – Roch (1957). Publicado en SGA 6, Springer-Verlag (1971), 20-71.
- ^ A. Borel y J.-P. Serre. Toro. Soc. Matemáticas. Francia 86 (1958), 97-136.
- ^ SGA 6, Springer-Verlag (1971).
- ^ Panin, Ivan; Smirnov, Alexander (2002). "Avances en teorías de cohomología orientadas de variedades algebraicas" .
- ^ Morel, Fabien ; Levine, Marc, cobordismo algebraico (PDF) , Springer, ver 4.2.10 y 4.2.11
- ^ Morrison; Harris. Módulos de curvas . pag. 154.
- ^ a b Mumford, David (1983). "Hacia una geometría enumerativa del espacio de módulos de curvas" . Aritmética y geometría : 271–328. doi : 10.1007 / 978-1-4757-9286-7_12 . ISBN 978-0-8176-3133-8.
- ^ Fulton. Teoría de la intersección . pag. 297.
- ^ a b Knudsen, Finn F. (1 de diciembre de 1983). "La proyectividad del espacio de módulos de curvas estables, III: La línea se agrupa en METRO gramo , norte {\ Displaystyle M_ {g, n}} , y una prueba de la proyectividad de METRO ¯ gramo , norte {\ displaystyle {\ bar {M}} _ {g, n}} en característica 0 " . Mathematica Scandinavica . 52 : 200–212. doi : 10.7146 / math.scand.a-12002 . ISSN 1903-1807 .
Referencias
- Berthelot, Pierre (1971). Alexandre Grothendieck ; Luc Illusie (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Apuntes de matemáticas 225 ) . Lecture Notes in Mathematics (en francés). 225 . Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . xii + 700. doi : 10.1007 / BFb0066283 . ISBN 978-3-540-05647-8.
- Borel, Armand ; Serre, Jean-Pierre (1958), "Le théorème de Riemann – Roch", Bulletin de la Société Mathématique de France (en francés), 86 : 97-136, doi : 10.24033 / bsmf.1500 , ISSN 0037-9484 , MR 0116022
- Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., 2 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-62046-X, MR 1644323 , Zbl 0.885,14002
- Navarro, Alberto; Navarro, José (2017), Sobre la fórmula de Riemann-Roch sin hipótesis proyectiva , arXiv : 1705.10769 , Bibcode : 2017arXiv170510769N
- Panin, Ivan; Smirnov, Alexander (2000). "Avances en teorías de cohomología orientadas de variedades algebraicas" .
enlaces externos
- El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch
- El hilo "¿Aplicaciones de Grothendieck-Riemann-Roch?" en MathOverflow .
- El hilo "¿cómo se entiende GRR? (Grothendieck Riemann Roch)" en MathOverflow .
- El hilo "Clase Chern de gavilla ideal" en Stack Exchange .