En física matemática , en particular electromagnetismo , el vector de Riemann-Silberstein [1] o el vector de Weber [2] [3] que lleva el nombre de Bernhard Riemann , Heinrich Martin Weber y Ludwik Silberstein , (o algunas veces llamado ambiguamente el "campo electromagnético") es un compleja del vector que combina el campo eléctrico e y el campo magnético B .
Historia
Heinrich Martin Weber publicó la cuarta edición de "Las ecuaciones diferenciales parciales de la física matemática según las conferencias de Riemann" en dos volúmenes (1900 y 1901). Sin embargo, Weber señaló en el prefacio del primer volumen (1900) que esta cuarta edición fue completamente reescrita en base a sus propias conferencias, no a las de Riemann, y que la referencia a las "conferencias de Riemann" solo permaneció en el título porque el concepto general permaneció lo mismo y que continuó el trabajo en el espíritu de Riemann. [4] En el segundo volumen (1901, §138, p. 348), Weber demostró cómo consolidar las ecuaciones de Maxwell utilizando. [5] Los componentes real e imaginario de la ecuación
son una interpretación de las ecuaciones de Maxwell sin cargas ni corrientes. Fue redescubierto y desarrollado de forma independiente por Ludwik Silberstein en 1907. [6] [7]
Definición
Dado un campo eléctrico E y un campo magnético B definidos en una región común del espacio-tiempo , el vector de Riemann-Silberstein es
donde c es la velocidad de la luz , y algunos autores prefieren multiplicar el lado derecho por una constante general, donde ε 0 es la permitividad del espacio libre . Es análogo al tensor electromagnético F , un 2-vector utilizado en la formulación covariante del electromagnetismo clásico .
En la formulación de Silberstein, i se definió como la unidad imaginaria y F se definió como un campo vectorial tridimensional complejo , llamado campo bivector . [8]
Solicitud
El vector de Riemann-Silberstein se utiliza como punto de referencia en la formulación del álgebra geométrica del electromagnetismo . Las cuatro ecuaciones de Maxwell en cálculo vectorial se reducen a una ecuación en el álgebra del espacio físico :
Expresiones para las invariantes fundamentales y la densidad de energía y el impulso de densidad también adoptan formas simples:
donde S es el vector de Poynting .
El vector de Riemann-Silberstein se utiliza para representaciones matriciales exactas de las ecuaciones de Maxwell en un medio no homogéneo con fuentes . [1] [9]
Función de onda de fotón
En 1996, su contribución a la electrodinámica cuántica , Iwo Bialynicki-Birula utilizó el vector de Riemann-Silberstein como base para una aproximación al fotón , y señaló que es una "función vectorial compleja de coordenadas espaciales ry tiempo t que describe adecuadamente el estado cuántico de un solo fotón ". Para poner el vector de Riemann-Silberstein en el lenguaje contemporáneo, se hace una transición:
- Con el advenimiento del cálculo de espinor que reemplazó al cálculo cuaterniónico, las propiedades de transformación del vector de Riemann-Silberstein se han vuelto aún más transparentes ... un espinor simétrico de segundo rango.
Bialynicki-Birula reconoce que la función de onda de los fotones es un concepto controvertido y que no puede tener todas las propiedades de las funciones de onda de Schrödinger de la mecánica de ondas no relativista. Sin embargo, la defensa se basa en la practicidad: es útil para describir estados cuánticos de excitación de un campo libre, campos electromagnéticos que actúan sobre un medio, excitación al vacío de pares virtuales de positrones y electrones y presentar el fotón entre las partículas cuánticas funciones de onda.
Ecuación de Schrödinger para el fotón y las relaciones de incertidumbre de Heisenberg
Multiplicar las dos ecuaciones de Maxwell dependientes del tiempo por la ecuación de Schrödinger para fotones en el vacío viene dada por
dónde es el vector construido a partir del giro de las matrices de longitud 1 que genera rotaciones infinitesimales completas de la partícula de 3 espinor. Por lo tanto, uno puede notar que el hamiltoniano en la ecuación de Schrödinger del fotón es la proyección de su espín 1 sobre su momento dado que el operador de momento normal aparece allí al combinar partes de rotaciones.
En contraste con la función de onda electrónica, el módulo cuadrado de la función de onda del fotón (vector de Riemann-Silbertein) no es adimensional y debe multiplicarse por la "longitud de onda del fotón local" con la potencia adecuada para dar una expresión adimensional para normalizar, es decir, es normalizado de forma exótica con el kernel integral
Las dos ecuaciones residuales de Maxwell son solo restricciones, es decir,
y se cumplen automáticamente todo el tiempo si solo se cumplen en el momento inicial , es decir
dónde es cualquier campo vectorial complejo con rotación que no desaparece , o es un potencial vectorial para el vector de Riemann-Silberstein.
Mientras se tiene la función de onda del fotón, se pueden estimar las relaciones de incertidumbre para el fotón. [10] Muestra que los fotones son "más cuánticos" que el electrón, mientras que sus incertidumbres de posición y el momento son más altas. Los candidatos naturales para estimar la incertidumbre son el impulso natural como simplemente la proyección. o de la fórmula de Einstein para el efecto fotoeléctrico y la teoría más simple de cuantos y la , la incertidumbre del vector de longitud de posición.
Usaremos la relación general para la incertidumbre para los operadores.
Queremos la relación de incertidumbre para es decir, para los operadores
El primer paso es encontrar al operador auxiliar de modo que esta relación se pueda utilizar directamente. Primero hacemos el mismo truco paraque Dirac hizo para calcular la raíz cuadrada del operador de Klein-Gordon para obtener la ecuación de Dirac :
dónde son matrices de la ecuación de Dirac :
Por lo tanto, tenemos
Debido a que las matrices de espín 1 son solo para calcular el conmutador en el mismo espacio aproximamos las matrices de espín mediante matrices de momento angular de la partícula con la longitud mientras suelta la multiplicación dado que las ecuaciones de Maxwell resultantes en 4 dimensiones parecerían demasiado artificiales para el original (alternativamente, podemos mantener el original factores pero normalizar el nuevo 4-espinor a 2 como 4 partículas escalares normalizadas a 1/2):
Ahora podemos calcular fácilmente el conmutador mientras calculamos conmutadores de matrices y escalado y notar que el estado gaussiano simétrico está aniquilando en promedio los términos que contienen variables mixtas como . Cálculo de 9 conmutadores (mixto puede ser cero en el ejemplo gaussiano y el dado que esas matrices son contradiagonales) y la estimación de términos a partir de la norma del resultado matriz que contiene cuatro factores que dan al cuadrado de los más naturales L 2 , 1 {\ displaystyle L2,1} norma de esta matriz como y usando la norma de desigualdad para la estimación
obtenemos
o
que es mucho más que para la partícula de masa en 3 dimensiones que es
y por lo tanto los fotones resultan ser partículas veces o casi 3 veces "más cuántica" que las partículas con la masa como electrones.
Referencias
- ↑ a b Bialynicki-Birula, Iwo (1996). "Función de onda de fotón". Progreso en Óptica . 36 : 245-294. arXiv : quant-ph / 0508202 . Código Bibliográfico : 1996PrOpt..36..245B . doi : 10.1016 / S0079-6638 (08) 70316-0 . ISBN 978-0-444-82530-8.
- ^ Michael K.-H. Kiessling y A. Shadi Tahvildar-Zadeh (2018). "Sobre la mecánica cuántica de un solo fotón". Revista de Física Matemática . 59 (11): 112302. arXiv : 1801.00268 . Código bibliográfico : 2018JMP .... 59k2302K . doi : 10.1063 / 1.5021066 . S2CID 51030338 .
- ^ Charles T. Sebens (2019). "Electromagnetismo como física cuántica". Fundamentos de la Física . 49 (4): 365–389. arXiv : 1902.01930 . Bibcode : 2019FoPh ... 49..365S . doi : 10.1007 / s10701-019-00253-3 . S2CID 84846425 .
- ^ Weber, Heinrich Martin (1900). Die partiellen Differential-Gleichungen der mathischen Physik nach Riemann's Vorlesungen (4. edición, volumen I) . Braunschweig: Vieweg.
- ^ Weber, Heinrich Martin (1901). Die partiellen Differential-Gleichungen der mathischen Physik nach Riemann's Vorlesungen (4. edición, volumen II) . Braunschweig: Vieweg.
- ^ Silberstein, Ludwik (1907). "Elektromagnetische Grundgleichungen en bivectorieller Behandlung" (PDF) . Annalen der Physik . 327 (3): 579–586. Código Bibliográfico : 1907AnP ... 327..579S . doi : 10.1002 / y p.19073270313 .
- ^ Silberstein, Ludwik (1907). "Nachtrag zur Abhandlung über 'Elektromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung ' " (PDF) . Annalen der Physik . 329 (14): 783–784. Código Bibliográfico : 1907AnP ... 329..783S . doi : 10.1002 / yp.19073291409 .
- ^ Aste, Andreas (2012). "Teoría de la representación compleja del campo electromagnético". Revista de geometría y simetría en física . 28 : 47–58. arXiv : 1211.1218 . doi : 10.7546 / jgsp-28-2012-47-58 . S2CID 119575012 .
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- ^ Bialynicki-Birula, Iwo (2012). "Relación de incertidumbre para fotones" (PDF) . Phys. Rev. Lett . 108 (14): 140401–1–5. arXiv : 1110.2415 . Código Bibliográfico : 2012PhRvL.108n0401B . doi : 10.1103 / physrevlett.108.140401 . PMID 22540772 . S2CID 30928536 .- Esta publicación utiliza definiciones ligeramente diferentes de incertidumbres de posición e impulso que renuncian al operador de posición y normalizan la incertidumbre de a la incertidumbre de r