En matemáticas , un bivector es la parte vectorial de un biquaternion . Para biquaternion q = w + x i + y j + z k , w se llama biscalar y x i + y j + z k es su parte bivector . Las coordenadas w , x , y , z son números complejos con unidad imaginaria h:
Un bivector puede escribirse como la suma de partes reales e imaginarias:
dónde y son vectores . Así el bivector[1]
El álgebra de Lie del grupo de Lorentz se expresa mediante bivectores. En particular, si r 1 y r 2 son versores derechos de modo que, entonces la curva de biquaternion {exp θr 1 : θ ∈ R } traza una y otra vez el círculo unitario en el plano { x + yr 1 : x , y ∈ R }. Tal círculo corresponde a los parámetros de rotación espacial del grupo de Lorentz.
Ahora (h r 2 ) 2 = (−1) (- 1) = +1 , y la curva de biquaternion {exp θ (h r 2 ): θ ∈ R } es una hipérbola unitaria en el plano { x + yr 2 : x , y ∈ R }. Las transformaciones del espacio-tiempo en el grupo de Lorentz que conducen a las contracciones de FitzGerald y la dilatación del tiempo dependen de un parámetro de ángulo hiperbólico . En palabras de Ronald Shaw, "los bivectores son logaritmos de las transformaciones de Lorentz". [2]
El producto del conmutador de este álgebra de Lie es solo el doble del producto cruzado en R 3 , por ejemplo, [i, j] = ij - ji = 2k , que es dos veces i × j . Como escribió Shaw en 1970:
- Ahora bien, es bien sabido que el álgebra de Lie del grupo de Lorentz homogéneo puede considerarse el de bivectores bajo conmutación. [...] El álgebra de Lie de bivectores es esencialmente la de los 3-vectores complejos, y el producto de Lie se define como el producto cruzado familiar en el espacio tridimensional (complejo). [3]
William Rowan Hamilton acuñó los términos vector y bivector . El primer término se nombró con cuaterniones y el segundo aproximadamente una década después, como en Lectures on Quaternions (1853). [1] : 665 El texto popular Análisis vectorial (1901) utilizó el término. [4] : 249
Dado un bivector r = r 1 + h r 2 , la elipse para la cual r 1 y r 2 son un par de semidiámetros conjugados se llama elipse direccional del bivector r . [4] : 436
En la representación lineal estándar de biquaternions como matrices complejas de 2 × 2 que actúan sobre el plano complejo con base {1, h},
- representa bivector q = v i + w j + x k .
La transpuesta conjugada de esta matriz corresponde a - q , por lo que la representación del bivector q es una matriz oblicua-hermitiana .
Ludwik Silberstein estudió un campo electromagnético complejo E + h B , donde hay tres componentes, cada uno un número complejo, conocido como vector de Riemann-Silberstein . [5] [6]
"Los bivectores [...] ayudan a describir ondas planas homogéneas y no homogéneas polarizadas elípticamente: un vector para la dirección de propagación y otro para la amplitud". [7]
Referencias
- ↑ a b Hamilton, WR (1853). "Sobre la interpretación geométrica de algunos resultados obtenidos por cálculo con biquaternions" (PDF) . Actas de la Real Academia Irlandesa . 5 : 388–390.Enlace de la colección de David R. Wilkins en Trinity College, Dublín
- ^ Shaw, Ronald; Bowtell, Graham (1969). "El logaritmo bivector de una transformación de Lorentz" . Revista Trimestral de Matemáticas . 20 (1): 497–503. doi : 10.1093 / qmath / 20.1.497 .
- ^ Shaw, Ronald (1970). "La estructura de subgrupos del grupo de Lorentz homogéneo" . Revista Trimestral de Matemáticas . 21 (1): 101-124. doi : 10.1093 / qmath / 21.1.101 .
- ^ a b Edwin Bidwell Wilson (1901) Análisis de vectores
- ^ Silberstein, Ludwik (1907). "Elektromagnetische Grundgleichungen en bivectorieller Behandlung" (PDF) . Annalen der Physik . 327 (3): 579–586. Código Bibliográfico : 1907AnP ... 327..579S . doi : 10.1002 / y p.19073270313 .
- ^ Silberstein, Ludwik (1907). "Nachtrag zur Abhandlung über 'Elektromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung ' " (PDF) . Annalen der Physik . 329 (14): 783–4. Código Bibliográfico : 1907AnP ... 329..783S . doi : 10.1002 / yp.19073291409 .
- ^ "Revisiones Telegráficas § Bivectores y Ondas en Mecánica y Óptica ". American Mathematical Monthly . 102 (6): 571. 1995. doi : 10.1080 / 00029890.1995.12004621 .
- Boulanger, Ph .; Hayes, MA (1993). Bivectores y Ondas en Mecánica y Óptica . Prensa CRC. ISBN 978-0-412-46460-7.
- Boulanger, PH; Hayes, M. (1991). "Bivectores y ondas planas no homogéneas en cuerpos elásticos anisotrópicos". En Wu, Julian J .; Ting, Thomas Chi-tsai; Barnett, David M. (eds.). Teoría moderna de la elasticidad anisotrópica y sus aplicaciones . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas . pag. 280 y siguientes . ISBN 0-89871-289-0.
- Hamilton, William Rowan (1853). Conferencias sobre cuaterniones . Real Academia Irlandesa.Enlace de la Colección de Matemáticas Históricas de la Universidad de Cornell .
- Hamilton, William Edwin, ed. (1866). Elementos de cuaterniones . Prensa de la Universidad de Dublín . pag. 219.