Descripciones matemáticas del campo electromagnético.
Red eléctrica
Corriente alterna
Capacidad
Corriente continua
Corriente eléctrica
Electrólisis
Densidad actual
Calentamiento Joule
Fuerza electromotriz
Impedancia
Inductancia
Ley de Ohm
Circuito paralelo
Resistencia
Cavidades resonantes
Circuito en serie
Voltaje
Guías de ondas
Formulación covariante
Tensor electromagnético ( tensor de tensión-energía )
Cuatro corrientes
Electromagnético de cuatro potenciales
Científicos
Amperio
Biot
Culombio
Davy
Einstein
Faraday
Fizeau
Gauss
Heaviside
Enrique
Hertz
Joule
Lenz
Lorentz
Maxwell
Ørsted
Ohm
Ritchie
Savart
Cantante
Tesla
Volta
Weber
v
t
mi
La formulación covariante del electromagnetismo clásico se refiere a las formas de escribir las leyes del electromagnetismo clásico (en particular, las ecuaciones de Maxwell y la fuerza de Lorentz ) en una forma que es manifiestamente invariante bajo las transformaciones de Lorentz , en el formalismo de la relatividad especial utilizando sistemas de coordenadas inerciales rectilíneos . Ambas expresiones simplifican la demostración de que las leyes del electromagnetismo clásico adoptan la misma forma en cualquier sistema de coordenadas inerciales y también proporcionan una forma de trasladar los campos y las fuerzas de un marco a otro. Sin embargo, esto no es tan general como las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo. o sistemas de coordenadas no rectilíneos.
Este artículo utiliza el tratamiento clásico de tensores y la convención de suma de Einstein en todo momento y la métrica de Minkowski tiene la forma diag (+1, −1, −1, −1). Cuando se especifica que las ecuaciones se mantienen en el vacío, se podría considerarlas como la formulación de las ecuaciones de Maxwell en términos de carga total y corriente.
Para obtener una descripción más general de las relaciones entre el electromagnetismo clásico y la relatividad especial, incluidas varias implicaciones conceptuales de esta imagen, consulte el electromagnetismo clásico y la relatividad especial .
Contenido
1 objetos covariantes
1.1 Cuatro vectores preliminares
1.2 Tensor electromagnético
1.3 Cuatro corrientes
1.4 Cuatro potenciales
1.5 Tensor de tensión electromagnética-energía
2 ecuaciones de Maxwell en el vacío
2.1 Ecuaciones de Maxwell en la galga de Lorenz
3 fuerza de Lorentz
3.1 Partícula cargada
3.2 Continuo de carga
4 leyes de conservación
4.1 Carga eléctrica
4.2 Energía electromagnética: momento
5 objetos covariantes en la materia
5.1 Cuatro corrientes libres y ligadas
5.2 Tensor de magnetización-polarización
5.3 Tensor de desplazamiento eléctrico
6 ecuaciones de Maxwell en la materia
6.1 Ecuaciones constitutivas
6.1.1 Vacío
6.1.2 Materia lineal no dispersiva
7 Lagrangiano para electrodinámica clásica
7.1 Vacío
7.2 Materia
8 Véase también
9 Notas y referencias
10 Lecturas adicionales
Objetos covariantes [ editar ]
Cuatro vectores preliminares [ editar ]
Artículo principal: covarianza de Lorentz
En este artículo se pueden utilizar tensores de Lorentz de los siguientes tipos para describir cuerpos o partículas:
cuatro desplazamientos :
Cuatro velocidades :
donde γ ( u ) es el factor de Lorentz a la velocidad de 3 u .
Cuatro impulso :
donde es 3-momento, es la energía total y es la masa en reposo .
Cuatro gradientes
El Alembert d' operador se denota , .
Los signos en el siguiente análisis de tensor dependen de la convención utilizada para el tensor métrico . La convención utilizada aquí es (+ - - -) , correspondiente al tensor métrico de Minkowski :
Tensor electromagnético [ editar ]
Artículo principal: tensor electromagnético
El tensor electromagnético es la combinación de los campos eléctrico y magnético en un tensor antisimétrico covariante cuyas entradas son cantidades de campo B.[1]
y el resultado de elevar sus índices es
donde E es el campo eléctrico , B el campo magnético , y c la velocidad de la luz .
Cuatro corrientes [ editar ]
Artículo principal: Cuatro corrientes
La corriente de cuatro es el vector de cuatro contravariantes que combina la densidad de carga eléctrica ρ y la densidad de corriente eléctrica j :
Cuatro potenciales [ editar ]
Artículo principal: Cuatro potenciales
El cuatro-potencial electromagnético es un cuatro-vector covariante que contiene el potencial eléctrico (también llamado potencial escalar ) ϕ y el potencial del vector magnético (o potencial del vector ) A , como sigue:
El diferencial del potencial electromagnético es
En el lenguaje de las formas diferenciales , que proporciona la generalización a los espaciotiempos curvos, estos son los componentes de una forma 1 y una forma 2, respectivamente. Aquí, está el derivado exterior y el producto de cuña .
Tensor de energía-estrés electromagnético [ editar ]
Artículo principal: Tensor de energía-tensión electromagnética
El tensor de tensión-energía electromagnética se puede interpretar como la densidad de flujo del cuatro-vector del momento, y es un tensor simétrico contravariante que es la contribución de los campos electromagnéticos al tensor total de tensión-energía :
donde es la permitividad eléctrica del vacío , μ 0 es la permeabilidad magnética del vacío , el vector de Poynting es
y el tensor de tensión de Maxwell está dado por
El tensor de campo electromagnético F construye el tensor de tensión-energía electromagnética T mediante la ecuación:
[2]
donde η es el tensor métrico de Minkowski (con firma (+ - - -) ). Note que usamos el hecho de que
que es predicha por las ecuaciones de Maxwell.
Ecuaciones de Maxwell en el vacío [ editar ]
Artículo principal: ecuaciones de Maxwell
En el vacío (o para las ecuaciones microscópicas, sin incluir descripciones de material macroscópico), las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir como ecuaciones de dos tensores.
Las dos ecuaciones no homogéneas de Maxwell, la ley de Gauss y la ley de Ampère (con la corrección de Maxwell) se combinan en (con (+ - - -) métrica): [3]
Ley de Gauss - Ampère
mientras que las ecuaciones homogéneas: la ley de inducción de Faraday y la ley de Gauss para el magnetismo se combinan para formar , que puede escribirse usando la dualidad Levi-Civita como:
Ley de Gauss - Faraday
donde F αβ es el tensor electromagnético , J α es la corriente de cuatro , ε αβγδ es el símbolo de Levi-Civita y los índices se comportan de acuerdo con la convención de suma de Einstein .
Cada una de estas ecuaciones de tensor corresponde a cuatro ecuaciones escalares, una para cada valor de β .
Usando la notación de tensor antisimétrico y la notación de coma para la derivada parcial (ver cálculo de Ricci ), la segunda ecuación también se puede escribir de manera más compacta como:
En ausencia de fuentes, las ecuaciones de Maxwell se reducen a:
que es una ecuación de onda electromagnética en el tensor de intensidad de campo.
Ecuaciones de Maxwell en el indicador de Lorenz [ editar ]
Artículo principal: condición del calibre de Lorenz
La condición de calibre de Lorenz es una condición de calibre invariante de Lorenz . (Esto se puede contrastar con otras condiciones del medidor , como el medidor de Coulomb , que si se mantiene en un marco inercial generalmente no se mantendrá en ningún otro). Se expresa en términos de cuatro potenciales de la siguiente manera:
En el medidor de Lorenz, las ecuaciones microscópicas de Maxwell se pueden escribir como:
Fuerza de Lorentz [ editar ]
Artículo principal: fuerza de Lorentz
Partícula cargada [ editar ]
Fuerza de Lorentz f sobre una partícula cargada (de carga q ) en movimiento (velocidad instantánea v ). La E de campo y B campo varían en el espacio y el tiempo.
Los campos electromagnéticos (EM) afectan el movimiento de la materia cargada eléctricamente : debido a la fuerza de Lorentz . De esta manera, se pueden detectar campos electromagnéticos (con aplicaciones en física de partículas y ocurrencias naturales como en las auroras ). En forma relativista, la fuerza de Lorentz usa el tensor de intensidad de campo de la siguiente manera. [4]
Expresado en términos de tiempo coordenado t , es:
donde p α es el cuatro momento, q es la carga y x β es la posición.
Expresado en forma independiente del marco, tenemos las cuatro fuerzas
donde u β es la velocidad de cuatro y τ es el tiempo propio de la partícula , que está relacionado con el tiempo coordinado por dt = γdτ .
Continuo de carga [ editar ]
Fuerza de Lorentz por volumen espacial f sobre una distribución de carga continua ( densidad de carga ρ) en movimiento.
Ver también: mecánica del continuo
La densidad de fuerza debida al electromagnetismo, cuya parte espacial es la fuerza de Lorentz, está dada por
y está relacionado con el tensor de tensión-energía electromagnética por
Leyes de conservación [ editar ]
Carga eléctrica [ editar ]
La ecuación de continuidad :
expresa conservación de carga .
Energía electromagnética: impulso [ editar ]
Usando las ecuaciones de Maxwell, se puede ver que el tensor de tensión-energía electromagnética (definido anteriormente) satisface la siguiente ecuación diferencial, relacionándola con el tensor electromagnético y el actual de cuatro vectores.
o
que expresa la conservación del momento lineal y la energía mediante interacciones electromagnéticas.
Objetos covariantes en la materia [ editar ]
Cuatro corrientes libres y unidas [ editar ]
Para resolver las ecuaciones de electromagnetismo dadas aquí, es necesario agregar información sobre cómo calcular la corriente eléctrica, J ν Con frecuencia, es conveniente separar la corriente en dos partes, la corriente libre y la corriente ligada, que son modelado por diferentes ecuaciones;
dónde
Se han utilizado las ecuaciones macroscópicas de Maxwell , además de las definiciones del desplazamiento eléctrico D y la intensidad magnética H :
donde M es la magnetización y P la polarización eléctrica .
Tensor de magnetización-polarización [ editar ]
La corriente ligada se deriva de los campos P y M que forman un tensor de magnetización-polarización contravariante antisimétrico [1]
que determina la corriente ligada
Tensor de desplazamiento eléctrico [ editar ]
Si esto se combina con F μν obtenemos el tensor de desplazamiento electromagnético contravariante antisimétrico que combina los campos D y H de la siguiente manera:
Los tres tensores de campo están relacionados por:
que es equivalente a las definiciones de los campos D y H dadas anteriormente.
Ecuaciones de Maxwell en la materia [ editar ]
El resultado es que la ley de Ampère ,
,
y la ley de Gauss ,
,
combinar en una ecuación:
Ley de Gauss - Ampère (materia)
La corriente ligada y la corriente libre como se definió anteriormente se conservan automática y por separado
Ecuaciones constitutivas [ editar ]
Artículo principal: Ecuación constitutiva
Vacío [ editar ]
En el vacío, las relaciones constitutivas entre el tensor de campo y el tensor de desplazamiento son:
La antisimetría reduce estas 16 ecuaciones a solo seis ecuaciones independientes. Porque es habitual definir F μν por
las ecuaciones constitutivas pueden, en el vacío , combinarse con la ley de Gauss-Ampère para obtener:
El tensor de tensión-energía electromagnética en términos de desplazamiento es:
donde δ α π es el delta de Kronecker . Cuando el índice superior se reduce con η , se vuelve simétrico y es parte de la fuente del campo gravitacional.
Materia lineal, no dispersiva [ editar ]
Por lo tanto, hemos reducido el problema de modelar la corriente, J nu a dos (con suerte) problemas más fáciles - modelado de la corriente libre, J ν libre y modelar la magnetización y la polarización, . Por ejemplo, en los materiales más simples a bajas frecuencias, uno tiene
donde uno está en el marco inercial instantáneamente comoving del material, σ es su conductividad eléctrica , χ e es su susceptibilidad eléctrica y χ m es su susceptibilidad magnética .
Las relaciones constitutivas entre los tensores y F , propuestas por Minkowski para materiales lineales (es decir, E es proporcional a D y B proporcional a H ), son: [5]
donde u es la cuatro velocidades del material, ε y μ son respectivamente la permitividad y la permeabilidad adecuadas del material (es decir, en el marco de reposo del material), y denota el dual de Hodge .
Lagrangiano para la electrodinámica clásica [ editar ]
Vacío [ editar ]
La densidad lagrangiana para la electrodinámica clásica está compuesta por dos componentes: un componente de campo y un componente de fuente:
En el término de interacción, las cuatro corrientes deben entenderse como una abreviatura de muchos términos que expresan las corrientes eléctricas de otros campos cargados en términos de sus variables; la corriente de cuatro no es en sí misma un campo fundamental.
Las ecuaciones de Lagrange para la densidad electromagnética lagrangiana se pueden establecer de la siguiente manera:
Observando
,
y
la expresión dentro del corchete es
El segundo término es
Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento del campo electromagnético son
que es la ecuación de Gauss-Ampere anterior.
Materia [ editar ]
Separando las corrientes libres de las corrientes ligadas, otra forma de escribir la densidad lagrangiana es la siguiente:
Usando la ecuación de Lagrange, se pueden derivar las ecuaciones de movimiento para .
La expresión equivalente en notación vectorial no relativista es
Ver también [ editar ]
Teoría de campo clásica covariante
Tensor electromagnético
Ecuación de ondas electromagnéticas
Potencial de Liénard-Wiechert para una carga en movimiento arbitrario
Problema del conductor y el imán móvil
Ecuación de onda electromagnética no homogénea
Acción de proca
Electrodinámica cuántica
Electromagnetismo relativista
Acción de Stueckelberg
Teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman
Notas y referencias [ editar ]
↑ a b Vanderlinde, Jack (2004), teoría electromagnética clásica , Springer, págs. 313–328, ISBN 9781402026997