En física , el álgebra del espacio físico (APS) es el uso de Clifford o álgebra geométrica Cl 3,0 ( R ) del espacio euclidiano tridimensional como modelo para el espacio - tiempo (3 + 1) -dimensional , que representa un punto en el espacio-tiempo a través de un paravector (vector tridimensional más un escalar unidimensional).
El álgebra de Clifford Cl 3,0 ( R ) tiene una representación fiel , generada por matrices de Pauli , en la representación de espín C 2 ; Además, Cl 3,0 ( R ) es isomorfo a la subálgebra par Cl[0]
3,1( R ) del álgebra de Clifford Cl 3,1 ( R ).
APS se puede utilizar para construir un formalismo compacto, unificado y geométrico tanto para la mecánica clásica como para la cuántica.
APS no debe confundirse con el álgebra espaciotemporal (STA), que se refiere al álgebra de Clifford Cl 1,3 ( R ) del espaciotiempo tetradimensional de Minkowski .
Relatividad especial
Paravector de posición del espacio-tiempo
En APS, la posición del espacio-tiempo se representa como el paravector
donde el tiempo viene dado por la parte escalar x 0 = t , ye 1 , e 2 , e 3 son la base estándar para el espacio de posición. En todo momento, se utilizan unidades tales que c = 1 , llamadas unidades naturales . En la representación de la matriz de Pauli , los vectores base unitarios se reemplazan por las matrices de Pauli y la parte escalar por la matriz de identidad. Esto significa que la representación matricial de Pauli de la posición espacio-temporal es
Transformaciones y rotores de Lorentz
Las transformaciones de Lorentz restringidas que preservan la dirección del tiempo e incluyen rotaciones y refuerzos se pueden realizar mediante una exponenciación del biparavector de rotación del espacio- tiempo W
En la representación matricial, se ve que el rotor de Lorentz forma una instancia del grupo SL (2, C ) ( grupo lineal especial de grado 2 sobre los números complejos ), que es la doble cubierta del grupo de Lorentz . La unimodularidad del rotor de Lorentz se traduce en la siguiente condición en términos del producto del rotor de Lorentz con su conjugación de Clifford
Este rotor de Lorentz siempre se puede descomponer en dos factores, uno hermitiano B = B † , y el otro unitario R † = R −1 , tal que
El elemento unitario R se llama rotor porque codifica las rotaciones y el elemento hermitiano B codifica impulsos.
Paravector de cuatro velocidades
La cuatro velocidades , también llamada velocidad propia , se define como la derivada del paravector de posición del espacio-tiempo con respecto al tiempo propio τ :
Esta expresión se puede llevar a una forma más compacta definiendo la velocidad ordinaria como
y recordando la definición del factor gamma :
para que la velocidad adecuada sea más compacta:
La velocidad adecuada es un paravector unimodular positivo , lo que implica la siguiente condición en términos de la conjugación de Clifford
La velocidad adecuada se transforma bajo la acción del rotor de Lorentz L como
Paravector de cuatro momentos
El cuatro momento en APS se puede obtener multiplicando la velocidad adecuada con la masa como
con la condición de capa masiva traducida a
Electrodinámica clásica
El campo electromagnético, potencial y corriente.
El campo electromagnético se representa como un bi-paravector F :
con la parte hermitiana que representa el campo eléctrico E y la parte anti-hermitiana que representa el campo magnético B . En la representación matricial estándar de Pauli, el campo electromagnético es:
La fuente del campo F es la corriente electromagnética de cuatro :
donde la parte escalar es igual a la densidad de carga eléctrica ρ , y la parte vectorial la densidad de corriente eléctrica j . Presentamos el paravector de potencial electromagnético definido como:
en el que la parte escalar es igual al potencial eléctrico φ , y la parte de vector el potencial magnético A . El campo electromagnético también es entonces:
El campo se puede dividir en eléctrico.
y magnetico
componentes. Dónde
y F es invariante bajo una transformación de calibre de la forma
dónde es un campo escalar .
El campo electromagnético es covariante bajo las transformaciones de Lorentz según la ley.
Ecuaciones de Maxwell y la fuerza de Lorentz
Las ecuaciones de Maxwell se pueden expresar en una sola ecuación:
donde la barra superior representa la conjugación de Clifford .
La ecuación de fuerza de Lorentz toma la forma
Lagrangiano electromagnético
El lagrangiano electromagnético es
que es un invariante escalar real.
Mecánica cuántica relativista
La ecuación de Dirac , para una partícula cargada eléctricamente de masa my carga e , toma la forma:
- ,
donde e 3 es un vector unitario arbitrario, y A es el potencial de paravector electromagnético como arriba. La interacción electromagnética se ha incluido a través de acoplamiento mínimo en términos del potencial A .
Espinor clásico
La ecuación diferencial del rotor de Lorentz que es consistente con la fuerza de Lorentz es
tal que la velocidad adecuada se calcula como la transformación de Lorentz de la velocidad adecuada en reposo
que se puede integrar para encontrar la trayectoria del espacio-tiempo con el uso adicional de
Ver también
- Paravector
- Multivector
- wikilibros: Física en el lenguaje del álgebra geométrica. Un enfoque con el álgebra del espacio físico
- Ecuación de Dirac en el álgebra del espacio físico
Referencias
Libros de texto
- Baylis, William (2002). Electrodinámica: un enfoque geométrico moderno (2ª ed.). ISBN 0-8176-4025-8.
- Baylis, William, ed. (1999) [1996]. Álgebras de Clifford (geométricas): con aplicaciones a la física, las matemáticas y la ingeniería . Saltador. ISBN 978-0-8176-3868-9.
- Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2007) [2003]. Álgebra geométrica para físicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-139-64314-6.
- Hestenes, David (1999). Nuevos fundamentos para la mecánica clásica (2ª ed.). Kluwer. ISBN 0-7923-5514-8.
Artículos
- Baylis, WE (2004). "Relatividad en la introducción a la física". Revista canadiense de física . 82 (11): 853–873. arXiv : física / 0406158 . Código Bibliográfico : 2004CaJPh..82..853B . doi : 10.1139 / p04-058 . S2CID 35027499 .
- Baylis, WE; Jones, G (7 de enero de 1989). "El enfoque del álgebra de Pauli a la relatividad especial". Revista de Física A: Matemática y General . 22 (1): 1-15. Código Bibliográfico : 1989JPhA ... 22 .... 1B . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 22/1/008 .
- Baylis, WE (1 de marzo de 1992). "Eigenspinors clásicos y la ecuación de Dirac". Physical Review A . 45 (7): 4293–4302. Código Bibliográfico : 1992PhRvA..45.4293B . doi : 10.1103 / physreva.45.4293 . PMID 9907503 .
- Baylis, WE; Yao, Y. (1 de julio de 1999). "Dinámica relativista de cargas en campos electromagnéticos: un enfoque eigenspinor". Physical Review A . 60 (2): 785–795. Código Bibliográfico : 1999PhRvA..60..785B . doi : 10.1103 / physreva.60.785 .