En geometría diferencial y física teórica , la clasificación de campos electromagnéticos es una clasificación puntual de bivectores en cada punto de una variedad de Lorentz . Se utiliza en el estudio de soluciones de las ecuaciones de Maxwell y tiene aplicaciones en la teoría de la relatividad de Einstein .
El teorema de clasificación
El campo electromagnético en un punto p (es decir, un evento) de un espacio-tiempo de Lorentz está representado por un bivector real F = F ab definido sobre el espacio tangente en p .
El espacio tangente en p es isométrico como un espacio de producto interno real a E 1,3 . Es decir, tiene la misma noción de magnitud vectorial y ángulo que el espacio-tiempo de Minkowski . Para simplificar la notación, asumiremos que el espacio-tiempo es el espacio-tiempo de Minkowski. Esto tiende a difuminar la distinción entre el espacio tangente en p y la variedad subyacente; afortunadamente, esta especialización no pierde nada, por los motivos que comentamos al final del artículo.
El teorema de clasificación de campos electromagnéticos caracteriza al bivector F en relación con la métrica de Lorentz η = η ab definiendo y examinando las llamadas "direcciones nulas principales". Expliquemos esto.
El bivector F ab produce un operador lineal simétrico asimétrico F a b = F ac η cb definido al reducir un índice con la métrica. Actúa sobre el espacio tangente en p por r a → F a b r b . Usaremos el símbolo F para denotar el bivector o el operador, según el contexto.
Mencionamos una dicotomía extraída del álgebra exterior. Un bivector que se puede escribir como F = v ∧ w , donde v , w son linealmente independientes, se llama simple . Cualquier bivector distinto de cero durante un espacio de vector de 4 dimensiones o bien es simple, o puede ser escrito como F = v ∧ w + x ∧ y , donde v , w , x , y y son linealmente independientes; los dos casos son mutuamente excluyentes. Expresado así, la dicotomía no hace referencia a la métrica η , solo al álgebra exterior. Pero se ve fácilmente que el operador lineal simétrico sesgado asociado F a b tiene rango 2 en el primer caso y rango 4 en el último caso. [1]
Para enunciar el teorema de clasificación, consideramos el problema de valores propios para F , es decir, el problema de encontrar valores propios λ y vectores propios r que satisfagan la ecuación de valores propios
La simetría sesgada de F implica que:
- o el autovector r es un vector nulo (es decir, η ( r , r ) = 0 ), o el autovalor λ es cero, o ambos .
Un subespacio unidimensional generado por un vector propio nulo se denomina dirección nula principal del bivector.
El teorema de clasificación caracteriza las posibles direcciones nulas principales de un bivector. Establece que uno de los siguientes debe ser válido para cualquier bivector distinto de cero:
- el bivector tiene una dirección nula principal "repetida"; en este caso, se dice que el bivector en sí es nulo ,
- el bivector tiene dos direcciones nulas principales distintas; en este caso, el bivector se llama no nulo .
Además, para cualquier bivector no nulo, los dos valores propios asociados con las dos direcciones nulas principales distintas tienen la misma magnitud pero signo opuesto, λ = ± ν , por lo que tenemos tres subclases de bivectores no nulos:
- similar a un espacio : ν = 0
- temporal : ν ≠ 0 y rango F = 2
- no simple : ν ≠ 0 y rango F = 4 ,
donde el rango se refiere al rango del operador lineal F . [ aclaración necesaria ]
Interpretación física
La clasificación algebraica de bivectores dada anteriormente tiene una aplicación importante en la física relativista : el campo electromagnético está representado por un campo tensor de segundo rango simétrico sesgado (el tensor de campo electromagnético ) por lo que inmediatamente obtenemos una clasificación algebraica de campos electromagnéticos.
En un gráfico cartesiano en el espacio-tiempo de Minkowski , el tensor de campo electromagnético tiene componentes
dónde y denotan respectivamente los componentes de los campos eléctrico y magnético, medidos por un observador inercial (en reposo en nuestras coordenadas). Como es habitual en la física relativista, nos resultará conveniente trabajar con unidades geometrizadas en las que. En el formalismo de la " gimnasia de índice " de la relatividad especial, la métrica de Minkowski se utiliza para subir y bajar índices.
Invariantes
Los invariantes fundamentales del campo electromagnético son:
- .
(Fundamental significa que cualquier otro invariante puede expresarse en términos de estos dos).
Un campo electromagnético nulo se caracteriza por. En este caso, las invariantes revelan que los campos eléctrico y magnético son perpendiculares y que son de la misma magnitud (en unidades geometrizadas). Un ejemplo de campo nulo es una onda electromagnética plana en el espacio de Minkowski .
Un campo no nulo se caracteriza por. Si, existe un marco de referencia inercial para el cual desaparece el campo eléctrico o magnético. (Corresponden respectivamente a los campos magnetostático y electrostático )., existe un marco inercial en el que los campos eléctricos y magnéticos son proporcionales.
Variedades de Lorentzian curvas
Hasta ahora solo hemos hablado del espacio-tiempo de Minkowski . De acuerdo con el principio de equivalencia (fuerte), si simplemente reemplazamos "marco inercial" arriba con un campo de marco , todo funciona exactamente de la misma manera en las variedades curvas.
Ver también
- Teorema de peeling electromagnético
- Solución de electrovacío
- Grupo Lorentz
- Clasificación Petrov
Notas
- ^ El rango dado aquí corresponde al de un operador lineal o tensor; el rango definido para un vector k es la mitad del que se da aquí.
Referencias
- Landau, Lev D .; Lifshitz, EM (1973). La teoría clásica de los campos . Nueva York: Pergamon. ISBN 0-08-025072-6.Ver sección 25 .