Forma de volumen

En matemáticas , una forma de volumen en una variedad diferenciable es una forma de dimensión superior (es decir, una forma diferencial de grado superior). Así, en una variedad de dimensiones , una forma de volumen es una forma, una sección del haz de líneas . Una variedad admite una forma de volumen que no desaparece en ninguna parte si y solo si es orientable. Una variedad orientable tiene infinitas formas de volumen, ya que al multiplicar una forma de volumen por una función se obtiene otra forma de volumen. En variedades no orientables, se puede definir en cambio la noción más débil de densidad .${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \textstyle \Omega ^{n}(M)={\bigwedge }^{n}(T^{*}M)}$

Una forma de volumen proporciona un medio para definir la integral de una función en una variedad diferenciable. En otras palabras, una forma de volumen da lugar a una medida con respecto a la cual las funciones pueden ser integradas por la integral de Lebesgue apropiada . El valor absoluto de una forma de volumen es un elemento de volumen , que también se conoce como forma de volumen retorcido o forma de pseudovolumen . También define una medida, pero existe sobre cualquier variedad diferenciable, orientable o no.

Las variedades de Kähler , al ser variedades complejas , están orientadas naturalmente y, por lo tanto, poseen una forma de volumen. Más generalmente, el º potencia exterior de la forma simpléctica en una variedad simpléctica es una forma de volumen. Muchas clases de variedades tienen formas de volumen canónicas: tienen una estructura adicional que permite la elección de una forma de volumen preferida. Las variedades pseudo-Riemannianas orientadas tienen una forma de volumen canónica asociada.${\displaystyle n}$

Orientación

Lo siguiente solo tratará sobre la orientabilidad de variedades diferenciables (es una noción más general definida en cualquier variedad topológica).

Una variedad es orientable si tiene un atlas de coordenadas cuyas funciones de transición tienen determinantes jacobianos positivos . Una selección de un atlas máximo de este tipo es una orientación sobre . Una forma de volumen en da lugar a una orientación de una manera natural como el atlas de gráficos de coordenadas que envía a un múltiplo positivo de la forma de volumen euclidiana .${\displaystyle M}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$

Una forma de volumen también permite la especificación de una clase preferida de marcos en . Llamar a una base de vectores tangentes diestros si${\displaystyle M}$${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$

${\displaystyle \omega (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})>0.}$

El grupo de mapeos lineales generales en dimensiones con determinante positivo actúa sobre la colección de todos los fotogramas para diestros . Forman un sub-paquete principal del paquete de marco lineal de , por lo que la orientación asociada a una forma de volumen da una reducción canónica del paquete de marco de a un sub-paquete con grupo de estructura . Es decir que una forma de volumen da lugar a -estructura en . Es claramente posible una mayor reducción considerando marcos que tienen ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$${\displaystyle n}$ GRAMO L + ( norte ) {\ Displaystyle \ mathrm {GL} ^ {+} (n)} ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ GRAMO L + ( norte ) {\ Displaystyle \ mathrm {GL} ^ {+} (n)} ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \omega (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=1.}$

( 1 )

Así, una forma de volumen da lugar también a una estructura. Por el contrario, dada una estructura para L, se puede recuperar una forma de volumen mediante la imposición de ( 1 ) para las tramas lineales especiales y después la solución para el requerido -form requiriendo homogeneidad en sus argumentos.${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega }$

Un colector es orientable si y solo si tiene una forma de volumen. De hecho, es una deformación desde que se retraen , donde los reales positivos están incrustados como matrices escalares. Así, toda -estructura es reducible a una -estructura, y las -estructuras coinciden con las orientaciones sobre . Más concretamente, la trivialidad del conjunto determinante es equivalente a la orientabilidad, y un conjunto de líneas es trivial si y solo si tiene una sección que no se desvanece en ninguna parte. Por tanto, la existencia de una forma volumétrica equivale a la orientabilidad.${\displaystyle \mathrm {SL} (n)\to \mathrm {GL} ^{+}(n)}$${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}=\mathrm {SL} \times \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Omega ^{n}(M)}$

Relación con las medidas

Ver también: Densidad en un colector

Dada una forma de volumen en una variedad orientada, la densidad es una pseudoforma de volumen en la variedad no orientada obtenida al olvidar la orientación. Las densidades también se pueden definir de manera más general en colectores no orientables.${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |\omega |}$

Cualquier pseudo-forma de volumen (y por lo tanto también cualquier forma de volumen) define una medida en los conjuntos de Borel por${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \mu _{\omega }(U)=\int _{U}\omega .}$

La diferencia es que, si bien una medida se puede integrar en un subconjunto (Borel) , una forma de volumen solo se puede integrar en una celda orientada . En el cálculo de una sola variable , la escritura considera como una forma de volumen, no simplemente una medida, e indica "integrar sobre la celda con la orientación opuesta, a veces denotada ".${\displaystyle \int _{b}^{a}f\,dx=-\int _{a}^{b}f\,dx}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle \int _{b}^{a}}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle {\overline {[a,b]}}}$

Además, las medidas generales no necesitan ser continuas o uniformes: no necesitan definirse por una forma de volumen, o más formalmente, su derivada Radon-Nikodym con respecto a una forma de volumen dada no necesita ser absolutamente continua .

Divergencia

Dada una forma de volumen ω en M , se puede definir la divergencia de un campo vectorial X como la función escalar única, denotada por div  X , satisfaciendo

${\displaystyle (\operatorname {div} X)\omega =L_{X}\omega =d(X\;\lrcorner \;\omega ),}$

donde L _X indica la derivada de Lie a lo largo de X y denota el producto interior o la izquierda contracción de ω a lo largo de X . Si X es un campo vectorial con soporte compacto y M es una variedad con límite , entonces el teorema de Stokes implica${\displaystyle X\;\lrcorner \;\omega }$

${\displaystyle \int _{M}(\operatorname {div} X)\omega =\int _{\partial M}X\;\lrcorner \;\omega ,}$

que es una generalización del teorema de divergencia .

Los campos del vector solenoide son aquellos con div X = 0 . De la definición de la derivada de Lie se deduce que la forma del volumen se conserva bajo el flujo de un campo vectorial solenoidal. Por tanto, los campos vectoriales solenoidales son precisamente aquellos que tienen flujos que conservan el volumen. Este hecho es bien conocido, por ejemplo, en mecánica de fluidos, donde la divergencia de un campo de velocidad mide la compresibilidad de un fluido, que a su vez representa la medida en que se conserva el volumen a lo largo de los flujos del fluido.

Casos especiales

Grupos de mentiras

Para cualquier grupo de Lie , una forma de volumen natural puede definirse mediante traducción. Es decir, si ω _e es un elemento de , entonces una forma invariante a la izquierda puede ser definida por , donde L _g es traslación a la izquierda. Como corolario, cada grupo de Lie es orientable. Esta forma de volumen es única hasta un escalar, y la medida correspondiente se conoce como medida de Haar .${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}T_{e}^{*}G}$${\displaystyle \omega _{g}=L_{g^{-1}}^{*}\omega _{e}}$

Variedades simplécticas

Cualquier variedad simpléctica (o de hecho cualquier variedad casi simpléctica ) tiene una forma de volumen natural. Si M es un 2 n colector -dimensional con forma simpléctico ω , entonces ω ⁿ es en absoluto cero como consecuencia de la nondegeneracy de la forma simpléctica. Como corolario, cualquier variedad simpléctica es orientable (de hecho, orientada). Si la variedad es simpléctica y riemanniana, entonces las dos formas de volumen concuerdan si la variedad es Kähler .

Forma de volumen riemanniano

Cualquier variedad pseudo-riemanniana orientada (incluida la riemanniana ) tiene una forma de volumen natural. En coordenadas locales , se puede expresar como

${\displaystyle \omega ={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}}$

donde son formas 1 que forman una base orientada positivamente para el haz cotangente de la variedad. Aquí, está el valor absoluto del determinante de la representación matricial del tensor métrico en la variedad.${\displaystyle dx^{i}}$${\displaystyle |g|}$

La forma de volumen se denota de diversas formas por

${\displaystyle \omega =\mathrm {vol} _{n}=\varepsilon ={\star }(1).}$

Aquí, la es la estrella de Hodge , por lo tanto, la última forma, enfatiza que la forma de volumen es el dual de Hodge del mapa constante en la variedad, que es igual al tensor ε de Levi-Civita .${\displaystyle {\star }}$${\displaystyle {\star }(1)}$

Aunque la letra griega ω se usa con frecuencia para denotar la forma del volumen, esta notación no es universal; el símbolo ω a menudo tiene muchos otros significados en geometría diferencial (como una forma simpléctica).

Invariantes de una forma de volumen

Las formas de volumen no son únicas; forman un torsor sobre funciones que no desaparecen en la variedad, como sigue. Dada una función que no desaparece f en M , y una forma de volumen , es una forma de volumen en M . Por el contrario, dadas dos formas de volumen , su relación es una función que no desaparece (positiva si definen la misma orientación, negativa si definen orientaciones opuestas).${\displaystyle \omega }$${\displaystyle f\omega }$${\displaystyle \omega ,\omega '}$

En coordenadas, ambas son simplemente una función distinta de cero multiplicada por la medida de Lebesgue , y su razón es la razón de las funciones, que es independiente de la elección de coordenadas. Intrínsecamente, es la derivada Radon-Nikodym de con respecto a . En una variedad orientada, la proporcionalidad de cualesquiera dos formas de volumen se puede considerar como una forma geométrica del teorema de Radon-Nikodym .${\displaystyle \omega '}$${\displaystyle \omega }$

Sin estructura local

Una forma de volumen en una variedad no tiene estructura local en el sentido de que no es posible en pequeños conjuntos abiertos distinguir entre la forma de volumen dada y la forma de volumen en el espacio euclidiano ( Kobayashi 1972 ). Es decir, para cada punto p en M , existe un entorno abierto U de p y un difeomorfismo φ de U en un abierto de R ⁿ tal que la forma de volumen en U es la retirada de a lo largo de φ .${\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$

Como corolario, si M y N son dos colectores, cada uno con formas de volumen , a continuación, para cualquier punto , hay entornos abiertos U de m y V de n y un mapa tal que la forma de volumen en N restringido a la vecindad V tira hacia atrás a la forma de volumen en M restringido a la zona de U : .${\displaystyle \omega _{M},\omega _{N}}$${\displaystyle m\in M,n\in N}$${\displaystyle f\colon U\to V}$${\displaystyle f^{*}\omega _{N}\vert _{V}=\omega _{M}\vert _{U}}$

En una dimensión, uno puede probarlo así: dada una forma de volumen en , defina${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle f(x):=\int _{0}^{x}\omega .}$

A continuación, el estándar de medida de Lebesgue retira a bajo f : . Concretamente, . En dimensiones superiores, dado cualquier punto , tiene un barrio localmente homeomorfo , y se puede aplicar el mismo procedimiento.${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega =f^{*}dx}$${\displaystyle \omega =f'\,dx}$${\displaystyle m\in M}$${\displaystyle \mathbf {R} \times \mathbf {R} ^{n-1}}$

Estructura global: volumen

Una forma de volumen en una variedad conectada M tiene un único invariante global, a saber, el volumen (total) (denotado ), que es invariante bajo mapas que preservan la forma de volumen; esto puede ser infinito, como para la medida de Lebesgue en . En un colector desconectado, el volumen de cada componente conectado es el invariante.${\displaystyle \mu (M)}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

En símbolos, si es un homeomorfismo de variedades que retrocede a , entonces${\displaystyle f\colon M\to N}$${\displaystyle \omega _{N}}$${\displaystyle \omega _{M}}$

${\displaystyle \mu (N)=\int _{N}\omega _{N}=\int _{f(M)}\omega _{N}=\int _{M}f^{*}\omega _{N}=\int _{M}\omega _{M}=\mu (M)\,}$

y los colectores tienen el mismo volumen.

Las formas de volumen también se pueden retirar debajo de los mapas de cobertura , en cuyo caso multiplican el volumen por la cardinalidad de la fibra (formalmente, por integración a lo largo de la fibra). En el caso de una cubierta laminada infinita (como ), una forma de volumen en un colector de volumen finito retrocede a una forma de volumen en un colector de volumen infinito.${\displaystyle \mathbf {R} \to S^{1}}$

Ver también

• Sistema de coordenadas cilíndrico § Elementos de línea y volumen
• Medir (matemáticas)
• La métrica de Poincaré proporciona una revisión de la forma del volumen en el plano complejo.
• Sistema de coordenadas esféricas § Integración y diferenciación en coordenadas esféricas

Referencias

• Kobayashi, S. (1972), Grupos de transformación en geometría diferencial , Clásicos en matemáticas, Springer, ISBN 3-540-58659-8, OCLC  31374337.
• Spivak, Michael (1965), Cálculo de colectores , Reading, Massachusetts: WA Benjamin, Inc., ISBN 0-8053-9021-9 .