En matemáticas , la fórmula de Riemann-Hurwitz , llamada así por Bernhard Riemann y Adolf Hurwitz , describe la relación de las características de Euler de dos superficies cuando una es una cubierta ramificada de la otra. Por tanto, conecta la ramificación con la topología algebraica , en este caso. Es un resultado prototipo para muchos otros, y se aplica a menudo en la teoría de superficies de Riemann (que es su origen) y curvas algebraicas .
Declaración
Para una superficie compacta , conectada y orientable, la característica de Euler es
- ,
donde g es el género (el número de asas ), ya que los números de Betti son. En el caso de un mapa de cobertura (sin ramificar ) de superficies
que es sobreyectiva y de grado , tenemos la formula
Eso es porque cada simplex de debe estar cubierto por exactamente en , al menos si usamos una triangulación suficientemente fina de, como tenemos derecho a hacer, ya que la característica de Euler es una invariante topológica . Lo que hace la fórmula de Riemann-Hurwitz es agregar una corrección para permitir la ramificación (las hojas se juntan ).
Ahora asuma que y son superficies de Riemann , y que el mapaes analítica compleja . El mapase dice que está ramificado en un punto P en S ′ si existen coordenadas analíticas cerca de P y π ( P ) tales que π toma la forma π ( z ) = z n , y n > 1. Una forma equivalente de pensar sobre esto es que existe un pequeño barrio U de P tal que π ( P ) tiene exactamente una imagen inversa en U , pero la imagen de cualquier otro punto en U tiene exactamente n preimages en U . El número n se llama el índice de ramificación en P y también denota por e P . Al calcular la característica de Euler de S ′ notamos la pérdida de e P - 1 copias de P por encima de π ( P ) (es decir, en la imagen inversa de π ( P )). Ahora elijamos triangulaciones de S y S ′ con vértices en los puntos de ramificación y ramificación, respectivamente, y utilícelos para calcular las características de Euler. Entonces S ′ tendrá el mismo número de caras d- dimensionales para d diferentes de cero, pero menos vértices de los esperados. Por tanto, encontramos una fórmula "corregida"
o como también se escribe comúnmente
(todos, excepto un número finito de P, tienen e P = 1, por lo que esto es bastante seguro). Esta fórmula se conoce como fórmula de Riemann-Hurwitz y también como teorema de Hurwitz .
Otra forma útil de la fórmula es:
donde r es el número de puntos en S ' en los que la cobertura tiene ramificación no trivial ( puntos de ramificación ) yb es el número de puntos en S que son imágenes de dichos puntos ( puntos de ramificación ). De hecho, para obtener esta fórmula, elimine las vecindades de disco disjuntas de los puntos de ramificación de S y las vecindades de disco disjuntas de los puntos de ramificación en S ' para que la restricción dees una cubierta. Luego aplique la fórmula general de grados a la restricción, use el hecho de que la característica de Euler del disco es igual a 1 y use la aditividad de la característica de Euler en sumas conectadas.
Ejemplos de
La Weierstrass-función , considerada como una función meromórfica con valores en la esfera de Riemann , produce un mapa de una curva elíptica (género 1) a la línea proyectiva (género 0). Es una doble cobertura ( N = 2), con ramificación solo en cuatro puntos, en los cuales e = 2. La fórmula de Riemann-Hurwitz dice
con la suma tardado más de cuatro valores de P .
La fórmula también se puede utilizar para calcular el género de curvas hiperelípticas .
Como otro ejemplo, la esfera de Riemann se asigna a sí misma mediante la función z n , que tiene un índice de ramificación n en 0, para cualquier número entero n > 1. Sólo puede haber otra ramificación en el punto en el infinito. Para equilibrar la ecuación
también debemos tener un índice de ramificación n en el infinito.
Consecuencias
A continuación se presentan varios resultados en topología algebraica y análisis complejo.
En primer lugar, no hay mapas de cobertura ramificados desde una curva de género inferior a una curva de género superior y, por tanto, dado que los mapas meromórficos no constantes de curvas son espacios de cobertura ramificados, no hay mapas meromórficos no constantes de una curva de género a una curva de género superior.
Como otro ejemplo, muestra inmediatamente que una curva del género 0 no tiene cobertura con N > 1 que no está ramificada en todas partes: porque eso daría lugar a una característica de Euler> 2.
Generalizaciones
Para una correspondencia de curvas, existe una fórmula más general, el teorema de Zeuthen , que da la corrección de ramificación a la primera aproximación de que las características de Euler están en la razón inversa a los grados de correspondencia.
Un recubrimiento orbifold de grado N entre las superficies orbifold S 'y S es un recubrimiento ramificado, por lo que la fórmula de Riemann-Hurwitz implica la fórmula habitual para los recubrimientos.
denotando con la característica de Euler orbifold.
Referencias
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 , OCLC 13348052, sección IV.2.