En matemáticas , la media de Riesz es una determinada media de los términos de una serie . Fueron introducidos por Marcel Riesz en 1911 como una mejora con respecto a la media de Cesàro [1] [2] . La media de Riesz no debe confundirse con la media de Bochner-Riesz o la media de Strong-Riesz .
Definición
Dada una serie , la media de Riesz de la serie está definida por
A veces, una media de Riesz generalizada se define como
Aquí el son una secuencia con y con como . Aparte de esto, el se toman como arbitrarios.
Los medios de Riesz se utilizan a menudo para explorar la sumabilidad de secuencias; Los teoremas de sumabilidad típicos discuten el caso de por alguna secuencia . Normalmente, una secuencia es sumable cuando el límite existe, o el límite existe, aunque los teoremas de sumabilidad precisos en cuestión a menudo imponen condiciones adicionales.
Casos especiales
Dejar para todos . Luego
Aquí, uno debe tomar ; es la función Gamma yes la función zeta de Riemann . La serie de poder
puede demostrarse que es convergente para . Tenga en cuenta que la integral tiene la forma de una transformada de Mellin inversa .
Otro caso interesante relacionado con la teoría de números surge tomando dónde es la función de Von Mangoldt . Luego
Nuevamente, uno debe tomar c > 1. La suma sobre ρ es la suma sobre los ceros de la función zeta de Riemann, y
es convergente para λ > 1.
Las integrales que ocurren aquí son similares a la integral de Nörlund-Rice ; de manera muy aproximada, se pueden conectar a esa integral a través de la fórmula de Perron .
Referencias
- ↑ M. Riesz,Comptes Rendus, 12 de junio de 1911
- ^ Hardy, GH y Littlewood, JE (1916). "Contribuciones a la teoría de la función Zeta de Riemann y la teoría de la distribución de primas" (PDF) . Acta Mathematica . 41 : 119-196. doi : 10.1007 / BF02422942 . Archivado desde el original (PDF) el 7 de febrero de 2012.
- Volkov, II (2001) [1994], "Método de suma de Riesz" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press