En matemáticas , y más particularmente en teoría analítica de números , la fórmula de Perron es una fórmula de Oskar Perron para calcular la suma de una función aritmética , mediante una transformada de Mellin inversa .
Declaración
Dejar ser una función aritmética , y sea
ser la serie de Dirichlet correspondiente . Suponga que la serie de Dirichlet es uniformemente convergente para. Entonces la fórmula de Perron es
Aquí, el primo de la suma indica que el último término de la suma debe multiplicarse por 1/2 cuando x es un número entero . La integral no es una integral de Lebesgue convergente ; se entiende como el valor principal de Cauchy . La fórmula requiere que c > 0, c > σ yx > 0.
Prueba
Un bosquejo sencillo de la prueba proviene de tomar la fórmula de suma de Abel
Esto no es más que una transformada de Laplace bajo el cambio de variable Al invertirlo, se obtiene la fórmula de Perron.
Ejemplos de
Debido a su relación general con las series de Dirichlet, la fórmula se aplica comúnmente a muchas sumas teóricas de números. Así, por ejemplo, se tiene la famosa representación integral de la función zeta de Riemann :
y una fórmula similar para Dirichlet L -Funciones :
dónde
y es un personaje de Dirichlet . Otros ejemplos aparecen en los artículos sobre la función Mertens y la función von Mangoldt .
Generalizaciones
La fórmula de Perron es solo un caso especial de la convolución discreta de Mellin
dónde
y
la transformada de Mellin. La fórmula de Perron es solo el caso especial de la función de prueba por la función escalón Heaviside .
Referencias
- Página 243 de Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0.335,10001
- Weisstein, Eric W. "Fórmula de Perron" . MathWorld .
- Tenenbaum, Gérald (1995). Introducción a la teoría de números analítica y probabilística . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 46 . Traducido por CB Thomas. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001 .