Involución (matemáticas)
En matemáticas , una involución , función involutivo , o función de auto-inversa [1] es una función f que es su propia inversa ,
El término anti-involución se refiere a involuciones basadas en antihomomorfismos (ver § Álgebra de cuaterniones, grupos, semigrupos más abajo)
El mapa de identidad es un ejemplo trivial de involución. Los ejemplos comunes en matemáticas de involuciones no triviales incluyen la multiplicación por -1 en aritmética , la toma de recíprocos , la complementación en la teoría de conjuntos y la conjugación compleja . Otros ejemplos incluyen inversión de círculo , rotación de media vuelta y cifrados recíprocos como la transformación ROT13 y el cifrado polialfabético de Beaufort .
El número de involuciones, incluida la involución de identidad, en un conjunto con n = 0, 1, 2, ... elementos viene dado por una relación de recurrencia encontrada por Heinrich August Rothe en 1800:
Los primeros términos de esta secuencia son 1 , 1, 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232 (secuencia A000085 en la OEIS ); estos números se denominan números de teléfono y también cuentan el número de cuadros de Young con un número determinado de celdas. [3] La composición g ∘ f de dos involuciones f y g es una involución si y solo si conmutan: g ∘ f = f ∘g . [4]
Cada involución en un número impar de elementos tiene al menos un punto fijo . De manera más general, para una involución sobre un conjunto finito de elementos, el número de elementos y el número de puntos fijos tienen la misma paridad . [5]
