En la ciencia actuarial y la teoría de la ruina de la probabilidad aplicada (a veces la teoría del riesgo [1] o la teoría del riesgo colectivo ) utiliza modelos matemáticos para describir la vulnerabilidad de una aseguradora a la insolvencia / ruina. En tales modelos, las cantidades clave de interés son la probabilidad de ruina, la distribución del excedente inmediatamente antes de la ruina y el déficit en el momento de la ruina.
Modelo clasico
El fundamento teórico de la teoría de la ruina, conocido como modelo de Cramér-Lundberg (o modelo de riesgo compuesto clásico de Poisson, proceso de riesgo clásico [2] o proceso de riesgo de Poisson) fue introducido en 1903 por el actuario sueco Filip Lundberg . [3] El trabajo de Lundberg fue reeditado en la década de 1930 por Harald Cramér . [4]
El modelo describe una compañía de seguros que experimenta dos flujos de efectivo opuestos: primas en efectivo entrantes y siniestros salientes. Las primas llegan a una tasa constante c > 0 de los clientes y las reclamaciones llegan de acuerdo con un proceso de Poisson con intensidad λ y son variables aleatorias no negativas independientes e idénticamente distribuidascon distribución F y media μ (forman un proceso de Poisson compuesto ). Entonces, para una aseguradora que comienza con un excedente inicial x , los activos agregadosestán dados por: [5]
El objeto central del modelo es investigar la probabilidad de que el nivel de superávit de la aseguradora finalmente caiga por debajo de cero (lo que provocaría la quiebra de la empresa). Esta cantidad, llamada probabilidad de ruina final, se define como
donde está el tiempo de la ruina con la convención de que . Esto se puede calcular exactamente usando la fórmula de Pollaczek-Khinchine como [6] (la función de ruina aquí es equivalente a la función de cola de la distribución estacionaria del tiempo de espera en una cola M / G / 1 [7] )
dónde es la transformada de la distribución de la cola de ,
y denota el -pliegue de convolución . En el caso de que los tamaños de las declaraciones se distribuyan exponencialmente, esto se simplifica a [7]
Modelo Sparre Andersen
E. Sparre Andersen extendió el modelo clásico en 1957 [8] al permitir que los tiempos entre llegadas de las reclamaciones tuvieran funciones de distribución arbitrarias. [9]
donde el proceso del número de reclamo es un proceso de renovación yson variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. Además, el modelo asume que casi seguro y eso y son independientes. El modelo también se conoce como modelo de riesgo de renovación.
Función de penalización con descuento esperada
Michael R. Powers [10] y Gerber y Shiu [11] analizaron el comportamiento del excedente de la aseguradora mediante la función de penalización descontada esperada , que se conoce comúnmente como función de Gerber-Shiu en la literatura sobre la ruina. Es discutible si la función debería haberse llamado función Powers-Gerber-Shiu debido a la contribución de Powers. [10]
En notación de Powers , esto se define como
- ,
dónde es la fuerza de descuento de interés, es una función de penalización general que refleja los costos económicos para el asegurador en el momento de la ruina, y la expectativa corresponde a la medida de probabilidad . La función se denomina costo de insolvencia descontado esperado por Powers. [10]
En la notación de Gerber y Shiu, se da como
- ,
dónde es la fuerza de descuento de interés y es una función de penalización que captura los costos económicos para el asegurador en el momento de la ruina (se supone que depende del excedente antes de la ruina y el déficit en la ruina ), y la expectativa corresponde a la medida de probabilidad . Aquí la función del indicador hace hincapié en que la pena se ejerce sólo cuando se produce la ruina.
Es bastante intuitivo interpretar la función de penalización descontada esperada. Dado que la función mide el valor presente actuarial de la penalización que se produce en, la función de penalización se multiplica por el factor de descuento , y luego promediado sobre la distribución de probabilidad del tiempo de espera para . Mientras que Gerber y Shiu [11] aplicaron esta función al modelo clásico de Poisson compuesto, Powers [10] argumentó que el excedente de una aseguradora se modela mejor mediante una familia de procesos de difusión.
Existe una gran variedad de cantidades relacionadas con la ruina que entran en la categoría de la función de penalización descontada esperada.
Caso especial | Representación matemática | Elección de la función de penalización |
---|---|---|
Probabilidad de la ruina final | ||
Distribución conjunta (defectuosa) de superávit y déficit | ||
Distribución defectuosa del reclamo que causa la ruina | ||
Transformada trivariada de Laplace de tiempo, superávit y déficit | ||
Momentos conjuntos de superávit y déficit |
Otras cantidades relacionadas con las finanzas que pertenecen a la clase de la función de penalización descontada esperada incluyen la opción de venta estadounidense perpetua, [12] el reclamo contingente en el momento óptimo de ejercicio, y más.
Desarrollos recientes
- Modelo de riesgo compuesto de Poisson con interés constante
- Modelo de riesgo compuesto de Poisson con interés estocástico
- Modelo de riesgo de movimiento browniano
- Modelo general de proceso de difusión
- Modelo de riesgo modulado por Markov
- Calculadora del factor de probabilidad de accidentes (APF) - modelo de análisis de riesgo (@SBH)
Ver también
Referencias
- ^ Embrechts, P .; Klüppelberg, C .; Mikosch, T. (1997). "1 Teoría del riesgo". Modelado de eventos extremos . Modelado estocástico y probabilidad aplicada. 33 . pag. 21. doi : 10.1007 / 978-3-642-33483-2_2 . ISBN 978-3-540-60931-5.
- ^ Delbaen, F .; Haezendonck, J. (1987). "Teoría clásica del riesgo en un entorno económico". Seguros: Matemáticas y Economía . 6 (2): 85. doi : 10.1016 / 0167-6687 (87) 90019-9 .
- ↑ Lundberg, F. (1903) Approximerad Framställning av Sannolikehetsfunktionen, Återförsäkering av Kollektivrisker, Almqvist & Wiksell, Uppsala.
- ^ Blom, G. (1987). "Harald Cramer 1893-1985" . The Annals of Statistics . 15 (4): 1335. doi : 10.1214 / aos / 1176350596 . JSTOR 2241677 .
- ^ Kyprianou, AE (2006). "Procesos y Aplicaciones Lévy". Conferencias introductorias sobre las fluctuaciones de los procesos de Lévy con aplicaciones . Springer Berlín Heidelberg. págs. 1–1. doi : 10.1007 / 978-3-540-31343-4_1 . ISBN 978-3-540-31342-7.
- ^ Huzak, Miljenko; Perman, Mihael; Šikić, Hrvoje; Vondraček, Zoran (2004). "Probabilidades de ruina para procesos de reclamación en competencia". Revista de probabilidad aplicada . Fideicomiso de probabilidad aplicada . 41 (3): 679–690. doi : 10.1239 / jap / 1091543418 . JSTOR 4141346 .
- ^ a b Rolski, Tomasz; Schmidli, Hanspeter; Schmidt, Volker; Teugels, Jozef (2008). "Procesos de riesgo". Procesos estocásticos para seguros y finanzas . Serie de Wiley en Probabilidad y Estadística. págs. 147–204. doi : 10.1002 / 9780470317044.ch5 . ISBN 9780470317044.
- ^ Andersen, E. Sparre. "Sobre la teoría colectiva del riesgo en caso de contagio entre reclamaciones". Transacciones del XV Congreso Internacional de Actuarios . Vol. 2. No. 6. 1957.
- ^ Thorin, Olof. " Algunos comentarios sobre el modelo de Sparre Andersen en la teoría del riesgo " El boletín ASTIN: revista internacional de estudios actuariales en seguros distintos de los de vida y teoría del riesgo (1974): 104.
- ^ a b c d Powers, MR (1995). "Una teoría de riesgo, rentabilidad y solvencia". Seguros: Matemáticas y Economía . 17 (2): 101-118. doi : 10.1016 / 0167-6687 (95) 00006-E .
- ^ a b Gerber, HU; Shiu, ESW (1998). "Sobre el valor temporal de la ruina". Revista actuarial norteamericana . 2 : 48. doi : 10.1080 / 10920277.1998.10595671 .
- ^ Gerber, HU; Shiu, ESW (1997). "De la teoría de la ruina al precio de las opciones" (PDF) . Coloquio AFIR, Cairns, Australia 1997 .
Otras lecturas
- Gerber, HU (1979). Introducción a la teoría matemática del riesgo . Filadelfia: Serie de monografías de la Fundación SS Heubner 8.
- Asmussen S. (2000). Probabilidades de ruina . Singapur: World Scientific Publishing Co.