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Un cuadrado Room , llamado así por Thomas Gerald Room , es una matriz n  ×  n llena con n  + 1 símbolos diferentes de tal manera que:

  1. Cada celda de la matriz está vacía o contiene un par desordenado del conjunto de símbolos
  2. Cada símbolo aparece exactamente una vez en cada fila y columna de la matriz.
  3. Cada par de símbolos desordenado ocurre exactamente en una celda de la matriz.

Un ejemplo, un cuadrado Room de orden siete, si el conjunto de símbolos son números enteros del 0 al 7:

0,71,54,62,3
3,41,72,60,5
1,64,52,70,3
0,25,63,71,4
2,51,30,64,7
3,62,40,15,7
0,43,51,26,7

Se sabe que un cuadrado de Habitación (o cuadrados) existe si y solo si n es impar pero no 3 o 5.

Historia

Robert Richard Anstice utilizó el cuadrado de habitación de orden 7 para proporcionar soluciones adicionales al problema de la colegiala de Kirkman a mediados del siglo XIX, y Anstice también construyó una familia infinita de cuadrados de habitación, pero sus construcciones no llamaron la atención. [1] Thomas Gerald Room reinventó los cuadrados Room en una nota publicada en 1955, [2] y llegaron a ser nombrados en su honor. En su artículo original sobre el tema, Room observó que n debe ser impar y desigual a 3 o 5, pero no se demostró que estas condiciones son necesarias y suficientes hasta el trabajo de WD Wallis en 1973. [3]

Aplicaciones

Antes del artículo de Room, los directores de torneos de bridge duplicados habían utilizado los cuadrados de Room en la construcción de los torneos. En esta aplicación se les conoce como rotaciones de Howell. Las columnas del cuadrado representan mesas, cada una de las cuales tiene un reparto de las cartas que juega cada par de equipos que se reúnen en esa mesa. Las filas del cuadrado representan rondas del torneo, y los números dentro de las celdas del cuadrado representan los equipos que están programados para jugar entre sí en la mesa y ronda representada por esa celda.

Archbold y Johnson utilizaron los cuadrados Room para construir diseños experimentales. [4]

Existen conexiones entre los cuadrados Room y otros objetos matemáticos, incluidos los cuasigrupos , los cuadrados latinos , las factorizaciones de gráficos y los sistemas triples de Steiner . [5]

Ver también

Notas

  1. ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Robert Anstice" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
  2. ↑ Room, TG (1955), "Un nuevo tipo de cuadrado mágico", Mathematical Gazette , 39 : 307.
  3. ^ Hirschfeld, JWP ; Wall, GE (1987), "Thomas Gerald Room. 10 de noviembre de 1902-2 de abril de 1986", Memorias biográficas de los miembros de la Royal Society , 33 : 575-601, doi : 10.1098 / rsbm.1987.0020 , JSTOR 769963 . También publicado en Historical Records of Australian Science 7 (1): 109-122, doi : 10.1071 / HR9870710109 . Hay una versión abreviada en línea en el sitio web de la Academia Australiana de Ciencias .
  4. ^ Archbold y Johnson, 1958
  5. ^ Wallis, Street y Wallis 1972 , pág. 33

Referencias

  • Archbold, JW; Johnson, NL (1958), "Una construcción para cuadrados de habitación y una aplicación en el diseño experimental", Annals of Mathematical Statistics , 29 : 219-225, doi : 10.1214 / aoms / 1177706719
  • Dinitz JH (ed.), Stinson DR (ed.) (1992). Teoría del diseño contemporáneo: una colección de encuestas . John Wiley e hijos . págs. 137-204. ISBN 0-471-53141-3.CS1 maint: texto adicional: lista de autores ( enlace )

Enlaces externos

  • Weisstein, Eric W. "Room Square" . MathWorld .