Matriz elemental

En matemáticas , una matriz elemental es una matriz que se diferencia de la matriz de identidad por una sola operación de fila elemental. Las matrices elementales generan el grupo lineal general GL _n ( F ) cuando F es un campo. La multiplicación por la izquierda (pre-multiplicación) por una matriz elemental representa operaciones de fila elementales , mientras que la multiplicación por la derecha (post-multiplicación) representa operaciones de columna elementales .

Las operaciones de fila elementales se utilizan en la eliminación gaussiana para reducir una matriz a la forma escalonada de fila . También se utilizan en la eliminación de Gauss-Jordan para reducir aún más la matriz a una forma escalonada reducida .

Operaciones de fila elementales

Hay tres tipos de matrices elementales, que corresponden a tres tipos de operaciones de fila (respectivamente, operaciones de columna):

Cambio de fila: Una fila dentro de la matriz se puede cambiar por otra fila.; ${\ Displaystyle R_ {i} \ leftrightarrow R_ {j}}$

Multiplicación de filas: Cada elemento de una fila se puede multiplicar por una constante distinta de cero. También se conoce como escalar una fila.; ${\ Displaystyle kR_ {i} \ rightarrow R_ {i}, \ {\ mbox {donde}} k \ neq 0}$

Adición de filas: Una fila se puede reemplazar por la suma de esa fila y un múltiplo de otra fila.; ${\ Displaystyle R_ {i} + kR_ {j} \ rightarrow R_ {i}, {\ mbox {donde}} i \ neq j}$

Si E es una matriz elemental, como se describe a continuación, para aplicar la operación de fila elemental a una matriz A , se multiplica A por la matriz elemental de la izquierda, EA . La matriz elemental para cualquier operación de fila se obtiene ejecutando la operación en la matriz de identidad . Este hecho puede entenderse como una instancia del lema de Yoneda aplicado a la categoría de matrices.

Transformaciones de cambio de fila

El primer tipo de operación de fila en una matriz A cambia todos los elementos de la matriz en la fila i con sus contrapartes en la fila j . La matriz elemental correspondiente se obtiene intercambiando la fila i y la fila j de la matriz identidad .

T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}

Así T _ij A es la matriz producida por el intercambio de fila i y la fila j de A .

Propiedades

La inversa de esta matriz es en sí misma: T _ij⁻¹ = T _ij .
Dado que el determinante de la matriz identidad es la unidad, det ( T _ij ) = −1. De ello se deduce que para cualquier matriz cuadrada A (del tamaño correcto), tenemos det ( T _ij A ) = −det ( A ).

Transformaciones de multiplicación de filas

El siguiente tipo de operación de fila en una matriz A multiplica todos los elementos de la fila i por m, donde m es un escalar distinto de cero (generalmente un número real). La matriz elemental correspondiente es una matriz diagonal, con entradas diagonales 1 en todas partes excepto en la i- ésima posición, donde es m .

D_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}

Entonces D _i ( m ) A es la matriz producida a partir de A al multiplicar la fila i por m .

Propiedades

La inversa de esta matriz viene dada por D _i ( m ) ⁻¹ = D _i (1 / m ).
La matriz y su inversa son matrices diagonales .
det ( D _yo ( m )) = m . Por lo tanto, para una matriz cuadrada A (del tamaño correcto), tenemos det ( D _i ( m ) A ) = m det ( A ).

Transformaciones de suma de filas

El tipo final de operación de fila en una matriz A suma la fila j multiplicada por un escalar m a la fila i . La matriz elemental correspondiente es la matriz identidad pero con una m en la posición ( i , j ).

L_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}

Entonces L _ij ( m ) A es la matriz producida a partir de A sumando m veces la fila j a la fila i . Y A L _ij ( m ) es la matriz producida a partir de A sumando m veces la columna i a la columna j .

Propiedades

Estas transformaciones son una especie de mapeo de corte , también conocido como transvecciones .
La inversa de esta matriz está dada por L _ij ( m ) ⁻¹ = L _ij (- m ).
La matriz y su inversa son matrices triangulares .
det ( L _ij ( m )) = 1. Por lo tanto, para una matriz cuadrada A (del tamaño correcto) tenemos det ( L _ij ( m ) A ) = det ( A ).
Las transformadas de suma de filas satisfacen las relaciones de Steinberg .

Ver también

Referencias

Axler, Sheldon Jay (1997), Álgebra lineal bien hecha (2a ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
Lay, David C. (22 de agosto de 2005), Álgebra lineal y sus aplicaciones (3a ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
Meyer, Carl D. (15 de febrero de 2001), Análisis de matrices y álgebra lineal aplicada , Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archivado desde el original el 31 de octubre de 2009
Poole, David (2006), Álgebra lineal: una introducción moderna (2a ed.), Brooks / Cole, ISBN 0-534-99845-3
Anton, Howard (2005), Álgebra lineal elemental (versión de aplicaciones) (9a ed.), Wiley International
Leon, Steven J. (2006), Álgebra lineal con aplicaciones (7a ed.), Pearson Prentice Hall
Strang, Gilbert (2016), Introducción al álgebra lineal (5.a ed.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6