El grupo del cubo de Rubik es un grupo que representa la estructura del rompecabezas mecánico del Cubo de Rubik . Cada elemento del conjunto corresponde a un movimiento de cubo, que es el efecto de cualquier secuencia de rotaciones de las caras del cubo. Con esta representación, no solo se puede representar cualquier movimiento del cubo, sino también cualquier posición del cubo, al detallar los movimientos del cubo necesarios para rotar el cubo resuelto a esa posición. De hecho, con la posición resuelta como punto de partida, existe una correspondencia biunívoca entre cada una de las posiciones legales del Cubo de Rubik y los elementos de. [1] [2] La operación de grupo es la composición de los movimientos del cubo, correspondiente al resultado de realizar un movimiento de cubo tras otro.
El grupo del cubo de Rubik se construye etiquetando cada una de las 48 facetas no centrales con los números enteros del 1 al 48. Cada configuración del cubo se puede representar como una permutación de las etiquetas 1 a 48, dependiendo de la posición de cada faceta. Usando esta representación, el cubo resuelto es la permutación de identidad que deja el cubo sin cambios, mientras que los doce movimientos del cubo que giran una capa del cubo 90 grados están representados por sus respectivas permutaciones. El grupo del cubo de Rubik es el subgrupo del grupo simétrico generado por las seis permutaciones correspondientes a los seis movimientos del cubo en el sentido de las agujas del reloj. Con esta construcción, cualquier configuración del cubo accesible a través de una secuencia de movimientos del cubo está dentro del grupo. Su funcionamientose refiere a la composición de dos permutaciones; dentro del cubo, esto se refiere a combinar dos secuencias de movimientos de cubos juntos, haciendo uno tras otro. El grupo del Cubo de Rubik no es abeliano ya que la composición de los movimientos del cubo no es conmutativa ; hacer dos secuencias de movimientos de cubos en un orden diferente puede resultar en una configuración diferente.
Movimientos de cubo
A El cubo de Rubik consta de caras , cada una concuadrados de colores llamados facetas, para un total defacetas. Un cubo resuelto tiene todas las facetas de cada cara del mismo color.
Un movimiento de cubo hace girar uno de los caras: o (métrica de media vuelta). [3] Una faceta central gira alrededor de su eje pero, por lo demás, permanece en la misma posición. [1]
Los movimientos del cubo se describen con la notación Singmaster : [4]
Básico 90 ° | 180 ° | -90 ° |
gira el frente en el sentido de las agujas del reloj | gira el frente en el sentido de las agujas del reloj dos veces | gira el frente en sentido antihorario |
gira la espalda en el sentido de las agujas del reloj | gira la espalda en el sentido de las agujas del reloj dos veces | gira la espalda en sentido antihorario |
gira la parte superior en el sentido de las agujas del reloj | gira la parte superior en el sentido de las agujas del reloj dos veces | gira la parte superior en sentido antihorario |
gira la parte inferior en el sentido de las agujas del reloj | gira la parte inferior en el sentido de las agujas del reloj dos veces | gira la parte inferior en sentido antihorario |
gira la cara izquierda en el sentido de las agujas del reloj | gira la cara izquierda en el sentido de las agujas del reloj dos veces | gira la cara izquierda en sentido antihorario |
gira la cara derecha en el sentido de las agujas del reloj | gira la cara derecha en el sentido de las agujas del reloj dos veces | gira la cara derecha en sentido antihorario |
El movimiento vacío es . La concatenación es lo mismo que , y es lo mismo que .
Estructura de grupo
A continuación, se utiliza la notación descrita en Cómo resolver el cubo de Rubik . La orientación de las seis facetas centrales es fija.
Podemos identificar cada una de las seis rotaciones de caras como elementos del grupo simétrico en el conjunto de facetas no centrales. Más concretamente, podemos etiquetar las facetas no centrales con los números del 1 al 48, y luego identificar las seis rotaciones de caras como elementos del grupo simétrico S 48 según cómo cada movimiento permuta las diversas facetas. El grupo del cubo de Rubik, G , se define entonces como el subgrupo de S 48 generado por las 6 rotaciones de caras,.
La cardinalidad de G está dada por
A pesar de ser tan grande, el Número de Dios para el Cubo de Rubik es 20; es decir, cualquier posición se puede resolver en 20 movimientos o menos [3] (donde un medio giro se cuenta como un solo movimiento; si un medio giro se cuenta como dos cuartos de giro, entonces el número de Dios es 26 [7] ).
El orden más grande de un elemento en G es 1260. Por ejemplo, uno de esos elementos de orden 1260 es
- . [1]
G no es abeliano ya que, por ejemplo, no es lo mismo que . Es decir, no todos los movimientos de cubos se conmutan entre sí. [2]
Subgrupos
Consideramos dos subgrupos de G : Primero el subgrupo C o de las orientaciones del cubo , los movimientos que dejan fija la posición de cada bloque, pero pueden cambiar las orientaciones de los bloques. Este grupo es un subgrupo normal de G . Puede representarse como el cierre normal de algunos movimientos que voltean algunos bordes o tuercen algunas esquinas. Por ejemplo, es el cierre normal de los siguientes dos movimientos:
- (girar dos esquinas)
- (voltear dos bordes).
En segundo lugar, tomamos el subgrupo de permutaciones de cubos , los movimientos que pueden cambiar las posiciones de los bloques, pero dejan la orientación fija. Para este subgrupo hay varias opciones, dependiendo de la forma precisa en que defina la orientación. [nota 1] Una opción es el siguiente grupo, dado por generadores (el último generador es un ciclo de 3 en los bordes):
Dado que C o es un subgrupo normal y la intersección de C o y C p es la identidad y su producto es el grupo de cubos completo, se deduce que el grupo de cubos G es el producto semidirecto de estos dos grupos. Es decir
A continuación, podemos echar un vistazo más de cerca a estos dos grupos. La estructura de C o es
ya que el grupo de rotaciones de cada esquina (resp. borde) cubo es (resp. ), y en cada caso todos menos uno pueden rotarse libremente, pero estas rotaciones determinan la orientación del último. Al darse cuenta de que hay 8 esquinas y 12 bordes, y que todos los grupos de rotación son abelianos, se obtiene la estructura anterior.
Las permutaciones de cubos, C p , son un poco más complicadas. Tiene los siguientes dos subgrupos normales disjuntos: el grupo de permutaciones pares en las esquinas A 8 y el grupo de permutaciones pares en los bordes A 12 . Complementaria a estos dos subgrupos hay una permutación que intercambia dos esquinas e intercambia dos bordes. Resulta que estos generan todas las permutaciones posibles, lo que significa
Juntando todas las piezas obtenemos que el grupo de cubos es isomorfo a
Este grupo también se puede describir como el producto subdirecto
- ,
en la notación de Griess [ cita requerida ] .
Generalizaciones
Cuando se tienen en cuenta las simetrías de la faceta central, el grupo de simetría es un subgrupo de
(Esta falta de importancia de las rotaciones de las facetas centrales es un ejemplo implícito de un grupo de cociente en funcionamiento, que protege al lector del grupo de automorfismo completo del objeto en cuestión).
El grupo de simetría del cubo de Rubik obtenido al desmontarlo y volver a montarlo es ligeramente mayor: es decir, es el producto directo.
El primer factor se explica únicamente por las rotaciones de las piezas centrales, el segundo únicamente por las simetrías de las esquinas y el tercero únicamente por las simetrías de los bordes. Los dos últimos factores son ejemplos de grupos simétricos generalizados , que son en sí mismos ejemplos de productos de coronas .
Los grupos simples que aparecen como cocientes en la serie de composición del grupo de cubo estándar (es decir, ignorando las rotaciones de la pieza central) son, , (7 veces), y (12 veces).
Clases conjugadas
Se ha informado que el grupo del cubo de Rubik tiene 81.120 clases de conjugación . [8] El número se calculó contando el número de clases de conjugación pares e impares en los grupos de bordes y esquinas por separado y luego multiplicándolos, asegurando que la paridad total sea siempre par. Se debe tener especial cuidado al contar las llamadas clases de conjugación sensibles a la paridad , cuyos elementos siempre difieren cuando se conjugan con cualquier elemento par frente a cualquier elemento impar. [9]
Grupo | Ni siquiera | No extraño | No. ps | Total |
---|---|---|---|---|
Posiciones de esquina | 12 | 10 | 2 | 22 |
Posiciones de borde | 40 | 37 | 3 | 77 |
Todas las posiciones | 856 | |||
Esquinas | 140 | 130 | 10 | 270 |
Bordes | 308 | 291 | 17 | 599 |
Cubo entero | 81,120 |
Ver también
- Conmutador
- Clase conjugada
- Coset
- Soluciones óptimas para el cubo de Rubik
- Grupo solucionable
- Algoritmo de Thistlethwaite
Notas
- ↑ Una forma de definir la orientación es la siguiente, adaptada de las páginas 314–315 de Metamagical Themas de Douglas Hofstadter . Defina dos nociones: el color principal de un bloque y la faceta principal de una posición , donde una posición significa la ubicación de un bloque. La faceta principal de una posición será la de la cara frontal o posterior del cubo, si esa posición tiene tal faceta; de lo contrario, será el de la cara izquierda o derecha. Hay nueve facetas principales en F, nueve en B, dos en L y dos en R. El color principal de un bloque se define como el color que debería estar en la faceta principal del bloque cuando el bloque "vuelve a casa" en su posición correcta. posición en un cubo resuelto. Un movimiento de cubo conserva la orientación si, cuando se ha aplicado a un cubo resuelto, el color principal de cada bloque está en la faceta principal de su posición.
Referencias
- ↑ a b c Joyner, David (2002). Aventuras en teoría de grupos: cubo de Rubik, máquina de Merlín y otros juguetes matemáticos . Prensa de la Universidad Johns Hopkins. ISBN 0-8018-6947-1.
- ^ a b Davis, Tom (2006). "Teoría de grupos a través del cubo de Rubik" (PDF) .
- ^ a b Rokicki, Tomas; et al. "El número de Dios es el 20" .
- ^ Singmaster, David (1981). Notas sobre el cubo mágico de Rubik . Libros de pingüinos. ISBN 0907395007.
- ^ Schönert, Martin. "Analizando el cubo de Rubik con GAP" .
- ^ Tom Davis, "Rubik's Cube. Part II", p.23 in, Zvezdelina Stankova, Tom Rike (eds), A Decade of the Berkeley Math Circle , American Mathematical Society, 2015 ISBN 9780821849125 .
- ^ El número de Dios es 26 en la métrica de un cuarto de vuelta
- ^ Garron, Lucas (8 de marzo de 2010). "El grupo de permutación del cubo de Rubik" (PDF) . S2CID 18785794 . Archivado desde el original (PDF) el 22 de febrero de 2019 . Consultado el 1 de agosto de 2020 . Cite journal requiere
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( ayuda ) - ^ a b brac37 (20 de octubre de 2009). "Clases conjugadas del cubo" . Dominio del Foro Cubo . Consultado el 1 de agosto de 2020 .