Teorema de runge
En análisis complejo , el teorema de Runge (también conocido como teorema de aproximación de Runge ) lleva el nombre del matemático alemán Carl Runge, quien lo demostró por primera vez en el año 1885. Dice lo siguiente:
Designando por C el conjunto de números complejos , deja que K sea un subconjunto compacto de C y dejar que f sea una función que es holomorfa en un conjunto abierto que contiene K . Si A es un conjunto que contiene al menos un número complejo de cada delimitada componente conectado de C \ K entonces existe una secuencia de funciones racionales que converge uniformemente a f en Ky tal que todos los polos de las funciones estén en A.
Tenga en cuenta que no todos los números complejos en A deben ser un polo de todas las funciones racionales de la secuencia . Simplemente sabemos que para todos los miembros de que hacer tienen polos, los polos se encuentran en una .
Un aspecto que hace que este teorema sea tan poderoso es que se puede elegir el conjunto A de manera arbitraria. En otras palabras, uno puede elegir cualquier número complejo de los componentes conectados acotados de C \ K y el teorema garantiza la existencia de una secuencia de funciones racionales con polos solo entre esos números elegidos.
Para el caso especial en el que C \ K es un conjunto conectado (en particular cuando K está simplemente conectado), el conjunto A en el teorema estará claramente vacío. Dado que las funciones racionales sin polos son simplemente polinomios , obtenemos el siguiente corolario : si K es un subconjunto compacto de C tal que C \ K es un conjunto conectado, yf es una función holomórfica en un conjunto abierto que contiene K , entonces existe una secuencia de polinomios que se aproxima a f uniformemente en K(las suposiciones se pueden relajar, vea el teorema de Mergelyan ).
El teorema de Runge se generaliza de la siguiente manera: se puede tomar A como un subconjunto de la esfera de Riemann C ∪ {∞} y se requiere que A interseque también el componente conectado ilimitado de K (que ahora contiene ∞). Es decir, en la formulación dada anteriormente, las funciones racionales pueden llegar a tener un polo en el infinito, mientras que en la formulación más general del polo puede ser elegido en su lugar en cualquier parte del componente conectado sin límites de C \ K .
