En matemáticas , específicamente en la teoría de números trascendental , la conjetura de Schanuel es una conjetura hecha por Stephen Schanuel en la década de 1960 sobre el grado de trascendencia de ciertas extensiones de campo de los números racionales .
Declaración
La conjetura es la siguiente:
- Dados cualesquiera n números complejos z 1 , ..., z n que son linealmente independientes de los números racionales ℚ , la extensión del campo ℚ ( z 1 , ..., z n , e z 1 , ..., e z n ) tiene un grado de trascendencia al menos n sobre ℚ .
La conjetura se puede encontrar en Lang (1966). [1]
Consecuencias
La conjetura, si se prueba, generalizaría los resultados más conocidos en la teoría de números trascendental . El caso especial en el que los números z 1 , ..., z n son todos algebraicos es el teorema de Lindemann-Weierstrass . Si, por otro lado, los números se eligen para hacer exp ( z 1 ), ..., exp ( z n ) todo algebraico, entonces se probaría que los logaritmos linealmente independientes de números algebraicos son algebraicamente independientes, un fortalecimiento de Teorema de Baker .
El teorema de Gelfond-Schneider se deriva de esta versión reforzada del teorema de Baker, al igual que la conjetura de cuatro exponenciales actualmente no probada .
La conjetura de Schanuel, si se demuestra, también se conformaría si los números tales como e + π y e e son algebraica o trascendental, y probar que e y π son algebraicamente independiente simplemente configurando z 1 = 1 y z 2 = π i , y el uso de Euler de identidad .
La identidad de Euler establece que e π i + 1 = 0. Si la conjetura de Schanuel es cierta, entonces esta es, en un sentido preciso que involucra anillos exponenciales , la única relación entre e , π e i sobre los números complejos. [2]
Aunque aparentemente es un problema en la teoría de números, la conjetura también tiene implicaciones en la teoría de modelos . Angus Macintyre y Alex Wilkie , por ejemplo, demostraron que la teoría del campo real con exponenciación, ℝ exp , es decidible siempre que la conjetura de Schanuel sea cierta. [3] De hecho, solo necesitaban la versión real de la conjetura, definida a continuación, para probar este resultado, que sería una solución positiva al problema de la función exponencial de Tarski .
Conjeturas y resultados relacionados
La conjetura inversa de Schanuel [4] es la siguiente declaración:
- Suponga que F es un campo contable con característica 0, ye : F → F es un homomorfismo del grupo aditivo ( F , +) al grupo multiplicativo ( F , ·) cuyo núcleo es cíclico . Suponga además que para cualquier n elementos x 1 , ..., x n de F que son linealmente independientes sobre ℚ , el campo de extensión ℚ ( x 1 , ..., x n , e ( x 1 ), ..., e ( x n )) tiene un grado de trascendencia al menos n sobre ℚ . Entonces existe un campo homomorfismo h : F → ℂ tal que h ( e ( x )) = exp ( h ( x )) para todo x en F .
Una versión de la conjetura de Schanuel para series formales de poder , también de Schanuel, fue probada por James Axe en 1971. [5] Dice:
- Dada cualquier n serie de potencias formales f 1 , ..., f n en t ℂ [[ t ]] que son linealmente independientes sobre ℚ , entonces la extensión de campo ℂ ( t , f 1 , ..., f n , exp ( f 1 ), ..., exp ( f n )) tiene un grado de trascendencia al menos n sobre ℂ ( t ).
Como se indicó anteriormente, la decidibilidad de ℝ exp se deriva de la versión real de la conjetura de Schanuel, que es la siguiente: [6]
- Suponga que x 1 , ..., x n son números reales y el grado de trascendencia del campo ℚ ( x 1 , ..., x n , exp ( x 1 ), ..., exp ( x n )) es estrictamente menor que n , entonces hay enteros m 1 , ..., m n , no todos cero, tales que m 1 x 1 + ... + m n x n = 0.
Una conjetura relacionada llamada la conjetura real uniforme de Schanuel esencialmente dice lo mismo pero pone un límite a los enteros m i . La versión real uniforme de la conjetura es equivalente a la versión real estándar. [6] Macintyre y Wilkie demostraron que una consecuencia de la conjetura de Schanuel, a la que llamaron la conjetura del Débil de Schanuel, era equivalente a la decidibilidad de ℝ exp . Esta conjetura establece que existe un límite superior computable en la norma de soluciones no singulares para sistemas de polinomios exponenciales ; esto es, no obviamente, una consecuencia de la conjetura de Schanuel para los reales. [3]
También se sabe que la conjetura de Schanuel sería una consecuencia de resultados conjeturales en la teoría de los motivos . En este contexto, la conjetura de período de Grothendieck para una variedad abeliana A establece que el grado de trascendencia de su matriz de período es el mismo que la dimensión del grupo asociado de Mumford-Tate , y lo que se conoce por el trabajo de Pierre Deligne es que la dimensión es una dimensión superior. con destino al grado de trascendencia. Bertolin ha mostrado cómo una conjetura de período generalizada incluye la conjetura de Schanuel. [7]
Pseudo-exponenciación de Zilber
Si bien una prueba de la conjetura de Schanuel parece muy lejana, [8] las conexiones con la teoría del modelo han provocado una oleada de investigación sobre la conjetura.
En 2004, Boris Zilber construyó sistemáticamente campos exponenciales K exp que son algebraicamente cerrados y de característica cero, y tal que uno de estos campos existe para cada cardinalidad incontable . [9] Axiomatizó estos campos y, utilizando la construcción y las técnicas de Hrushovski inspiradas en el trabajo de Shelah sobre la categoricidad en la lógica infinita , demostró que esta teoría de la "pseudoexponenciación" tiene un modelo único en cada cardinal incontable. La conjetura de Schanuel es parte de esta axiomatización, por lo que la conjetura natural de que el modelo único del continuo de cardinalidad es en realidad isomorfo al campo exponencial complejo implica la conjetura de Schanuel. De hecho, Zilber demostró que esta conjetura se cumple si y solo si se cumplen tanto la conjetura de Schanuel como otra condición no probada en el campo de exponenciación compleja, que Zilber llama cierre exponencial-algebraico. [10] Como esta construcción también puede dar modelos con contraejemplos de la conjetura de Schanuel, este método no puede probar la conjetura de Schanuel. [11]
Referencias
- ^ Lang, Serge (1966). Introducción a los números trascendentales . Addison – Wesley. págs. 30–31.
- ^ Terzo, Giuseppina (2008). "Algunas consecuencias de la conjetura de Schanuel en anillos exponenciales". Comunicaciones en álgebra . 36 (3): 1171-1189. doi : 10.1080 / 00927870701410694 .
- ^ a b Macintyre, A. y Wilkie, AJ (1996). "Sobre la decidibilidad del campo exponencial real". En Odifreddi, Piergiorgio (ed.). Kreiseliana: Acerca de Georg Kreisel y sus alrededores . Wellesley: Peters. págs. 441–467. ISBN 978-1-56881-061-4.
- ^ Scott W. Williams, Problemas de millones de dólares
- ^ Hacha, James (1971). "Sobre las conjeturas de Schanuel". Annals of Mathematics . 93 (2): 252–268. doi : 10.2307 / 1970774 . JSTOR 1970774 .
- ^ a b Kirby, Jonathan y Zilber, Boris (2006). "La conjetura uniforme de Schanuel sobre los números reales". Toro. London Math. Soc . 38 (4): 568–570. CiteSeerX 10.1.1.407.5667 . doi : 10.1112 / S0024609306018510 .
- ^ Bertolin, Cristiana (2002). "Périodes de 1-motifs et trascendance" . Revista de teoría de números . 97 (2): 204–221. doi : 10.1016 / S0022-314X (02) 00002-1 .
- ^ Waldschmidt, Michel (2000). Aproximación diofántica sobre grupos algebraicos lineales . Berlín: Springer . ISBN 978-3-662-11569-5.
- ^ Zilber, Boris (2004). "Pseudo-exponenciación en campos algebraicamente cerrados de característica cero" . Anales de lógica pura y aplicada . 132 (1): 67–95. doi : 10.1016 / j.apal.2004.07.001 .
- ^ Zilber, Boris (2002). "Ecuaciones de sumas exponenciales y la conjetura de Schanuel". J. London Math. Soc . 65 (2): 27–44. doi : 10.1112 / S0024610701002861 .
- ^ Bays, Martin; Kirby, Jonathan (2018). "Mapas pseudo-exponenciales, variantes y cuasiminimalidad". Teoría de números de álgebra . arXiv : 1512.04262 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Conjetura de Schanuel" . MathWorld .