En matemáticas , específicamente en el campo de la teoría de números trascendental , la conjetura de los cuatro exponenciales es una conjetura que, dadas las condiciones adecuadas sobre los exponentes, garantizaría la trascendencia de al menos uno de los cuatro exponenciales. La conjetura, junto con dos conjeturas relacionadas y más fuertes, está en la parte superior de una jerarquía de conjeturas y teoremas relacionados con la naturaleza aritmética de un cierto número de valores de la función exponencial .
Declaración
Si x 1 , x 2 e y 1 , y 2 son dos pares de números complejos , y cada par es linealmente independiente de los números racionales , entonces al menos uno de los siguientes cuatro números es trascendental :
Una forma alternativa de formular la conjetura en términos de logaritmos es la siguiente. Para 1 ≤ i , j ≤ 2 sean λ ij números complejos tales que exp (λ ij ) sean todos algebraicos . Suponga que λ 11 y λ 12 son linealmente independientes de los números racionales, y que λ 11 y λ 21 también son linealmente independientes de los números racionales, entonces
Una formulación equivalente en términos de álgebra lineal es la siguiente. Sea M la matriz 2 × 2
donde exp (λ ij ) es algebraico para 1 ≤ i , j ≤ 2. Suponga que las dos filas de M son linealmente independientes sobre los números racionales, y las dos columnas de M son linealmente independientes sobre los números racionales. Entonces el rango de M es 2.
Si bien una matriz de 2 × 2 que tiene filas y columnas linealmente independientes generalmente significa que tiene rango 2, en este caso requerimos independencia lineal sobre un campo más pequeño para que el rango no sea 2. Por ejemplo, la matriz
tiene filas y columnas que son linealmente independientes de los números racionales, ya que π es irracional . Pero el rango de la matriz es 1. Entonces, en este caso, la conjetura implicaría que al menos uno de e , e π y e π ² es trascendental (que en este caso ya se conoce porque e es trascendental).
Historia
La conjetura fue considerada ya a principios de la década de 1940 por Atle Selberg, quien nunca formuló la conjetura. [1] Un caso especial de la conjetura se menciona en un artículo de 1944 de Leonidas Alaoglu y Paul Erdős, quienes sugieren que Carl Ludwig Siegel la había considerado . [2] Una declaración equivalente fue mencionada por primera vez en forma impresa por Theodor Schneider, quien la estableció como el primero de ocho importantes problemas abiertos en la teoría trascendental de números en 1957. [3]
El teorema de los seis exponenciales relacionados fue mencionado explícitamente por primera vez en la década de 1960 por Serge Lang [4] y Kanakanahalli Ramachandra , [5] y ambos también conjeturan explícitamente el resultado anterior. [6] De hecho, después de probar el teorema de los seis exponenciales, Lang menciona la dificultad de reducir el número de exponentes de seis a cuatro; la prueba utilizada para seis exponenciales "simplemente falla" cuando se intenta aplicarla a cuatro.
Corolarios
El uso de la identidad de Euler esta conjetura implica la trascendencia de muchos números que involucran e y π . Por ejemplo, tomando x 1 = 1, x 2 = √ 2 , y 1 = iπ e y 2 = iπ √ 2 , la conjetura, si es cierta, implica que uno de los siguientes cuatro números es trascendental:
El primero de estos es simplemente -1, y el cuarto es 1, por lo que la conjetura implica que e iπ √ 2 es trascendental (que ya se conoce, como consecuencia del teorema de Gelfond-Schneider ).
Un problema abierto en la teoría de números resuelto por la conjetura es la cuestión de si existe un número real no entero t tal que tanto 2 t como 3 t sean enteros, o de hecho tal que a t y b t sean ambos enteros para algún par de enteros una y B que son multiplicativa independiente sobre los números enteros. Los valores de t tales que 2 t es un número entero son todos de la forma t = log 2 m para algún número entero m , mientras que para que 3 t sea un número entero, t debe tener la forma t = log 3 n para algún número entero n . Al establecer x 1 = 1, x 2 = t , y 1 = log 2 e y 2 = log 3, la conjetura de las cuatro exponenciales implica que si t es irracional, entonces uno de los siguientes cuatro números es trascendental:
Entonces, si 2 t y 3 t son ambos números enteros, entonces la conjetura implica que t debe ser un número racional. Dado que los únicos números racionales t para los que 2 t también es racional son los enteros, esto implica que no hay números reales t no enteros tales que tanto 2 t como 3 t sean enteros. Es esta consecuencia, para dos números primos cualesquiera, no solo 2 y 3, lo que Alaoglu y Erdős deseaban en su artículo, ya que implicaría la conjetura de que el cociente de dos números consecutivos colosalmente abundantes es primo, extendiendo los resultados de Ramanujan en los cocientes de superiores consecutivos número altamente compuesto . [7]
Conjetura aguda de cuatro exponenciales
La conjetura de los cuatro exponenciales reduce el par y el triplete de números complejos en las hipótesis del teorema de los seis exponenciales a dos pares. Se conjetura que esto también es posible con el teorema de los seis exponenciales agudos, y esta es la conjetura de los cuatro exponenciales agudos . [8] Específicamente, esta conjetura afirma que si x 1 , x 2 e y 1 , y 2 son dos pares de números complejos, siendo cada par linealmente independiente de los números racionales, y si β ij son cuatro números algebraicos para 1 ≤ i , j ≤ 2 tal que los siguientes cuatro números son algebraicos:
entonces x i y j = β ij para 1 ≤ i , j ≤ 2. Entonces, las cuatro exponenciales son de hecho 1.
Esta conjetura implica tanto el teorema de los seis exponenciales agudos, que requiere un tercer valor de x , como la conjetura aún no probada de los cinco exponenciales agudos que requiere un exponencial adicional para ser algebraico en sus hipótesis.
Conjetura fuerte de cuatro exponenciales
El resultado más fuerte que se ha conjeturado en este círculo de problemas es la conjetura de los cuatro exponenciales fuertes . [9] Este resultado implicaría las dos conjeturas antes mencionadas sobre cuatro exponenciales, así como todas las conjeturas y teoremas de cinco y seis exponenciales, como se ilustra a la derecha, y las tres conjeturas exponenciales que se detallan a continuación. El enunciado de esta conjetura trata con el espacio vectorial sobre los números algebraicos generados por 1 y todos los logaritmos de números algebraicos distintos de cero, denotados aquí como L ∗ . Entonces L ∗ es el conjunto de todos los números complejos de la forma
para algunos n ≥ 0, donde todos los β i y α i son algebraicos y se considera cada rama del logaritmo . El enunciado de la conjetura de los cuatro exponenciales fuertes es el siguiente. Sean x 1 , x 2 y y 1 , y 2 dos pares de números complejos, siendo cada par linealmente independiente de los números algebraicos, entonces al menos uno de los cuatro números x i y j para 1 ≤ i , j ≤ 2 no está en L ∗ .
Conjetura de tres exponenciales
La conjetura de los cuatro exponenciales descarta un caso especial de relaciones cuadráticas homogéneas y no triviales entre logaritmos de números algebraicos. Pero una extensión conjetural del teorema de Baker implica que no debería haber relaciones algebraicas no triviales entre logaritmos de números algebraicos, homogéneos o no. Un caso de relaciones cuadráticas no homogéneas está cubierto por la conjetura aún abierta de las tres exponenciales . [10] En su forma logarítmica, es la siguiente conjetura. Sean λ 1 , λ 2 y λ 3 cualesquiera tres logaritmos de números algebraicos y γ sea un número algebraico distinto de cero, y suponga que λ 1 λ 2 = γλ 3 . Entonces λ 1 λ 2 = γλ 3 = 0.
La forma exponencial de esta conjetura es la siguiente. Sean x 1 , x 2 e y números complejos distintos de cero y sea γ un número algebraico distinto de cero. Entonces, al menos uno de los siguientes tres números es trascendental:
También hay una conjetura aguda de tres exponenciales que afirma que si x 1 , x 2 e y son números complejos distintos de cero y α, β 1 , β 2 y γ son números algebraicos de manera que los siguientes tres números son algebraicos
entonces x 2 y = β 2 o γ x 1 = α x 2 .
Las fuertes tres exponenciales conjeturan estados mientras tanto que si x 1 , x 2 , y y son distintos de cero los números complejos con x 1 y , x 2 y y x 1 / x 2 todos trascendentales, entonces al menos uno de los tres números x 1 y , x 2 y , x 1 / x 2 no está en L ∗ .
Al igual que con los otros resultados en esta familia, la conjetura de los tres exponenciales fuertes implica la conjetura de los tres exponenciales agudos que implica la conjetura de los tres exponenciales. Sin embargo, las conjeturas fuertes y nítidas de las tres exponenciales están implícitas en sus contrapartes de cuatro exponenciales, oponiéndose a la tendencia habitual. Y la conjetura de los tres exponenciales no está implícita ni implica la conjetura de los cuatro exponenciales.
La conjetura de las tres exponenciales, como la conjetura de las cinco exponenciales agudas, implicaría la trascendencia de e π ² al dejar (en la versión logarítmica) λ 1 = i π, λ 2 = - i π y γ = 1.
Conjetura de Bertrand
Muchos de los teoremas y resultados de la teoría de números trascendental relacionados con la función exponencial tienen análogos que involucran la función modular j . Escribiendo q = e 2π i τ para el nomo y j ( τ ) = J ( q ), Daniel Bertrand conjeturó que si q 1 y q 2 son números algebraicos distintos de cero en el disco unitario complejo que son multiplicativamente independientes, entonces J ( q 1 ) y J ( q 2 ) son algebraicamente independientes de los números racionales. [11] Aunque obviamente no está relacionada con la conjetura de los cuatro exponenciales, la conjetura de Bertrand de hecho implica un caso especial conocido como la conjetura de los cuatro exponenciales débiles . [12] Esta conjetura establece que si x 1 y x 2 son dos números algebraicos reales positivos, ninguno de ellos igual a 1, entonces π² y el producto (log x 1 ) (log x 2 ) son linealmente independientes de los números racionales. Esto corresponde al caso especial de la conjetura de las cuatro exponenciales según la cual y 1 = i π, y 2 = - i π, y x 1 y x 2 son reales. Quizás sorprendentemente, sin embargo, también es un corolario de la conjetura de Bertrand, lo que sugiere que puede haber una aproximación a la conjetura de las cuatro exponenciales completas a través de la función modular j .
Notas
- ^ Waldschmidt, (2006).
- ↑ Alaoglu y Erdős, (1944), p.455: "Es muy probable que q x y p x no puedan ser racionales al mismo tiempo, excepto si x es un número entero. ... En la actualidad no podemos demostrar esto. El profesor Siegel ha nos comunicó el resultado de que q x , r x y s x no pueden ser simultáneamente racionales excepto si x es un número entero ".
- ^ Schneider, (1957).
- ^ Lang, (1966), capítulo 2 sección 1.
- ↑ Ramachandra, (8 de agosto de 1967).
- ↑ Waldschmidt, (2000), p.15.
- ↑ Ramanujan, (1915), sección IV.
- ^ Waldschmidt, "Álgebras de Hopf ..." (2005), p. 200.
- ↑ Waldschmidt, (2000), conjetura 11.17.
- ^ Waldschmidt, "Variaciones ..." (2005), consecuencia 1.9.
- ^ Bertrand, (1997), conjetura 2 en la sección 5.
- ^ Díaz, (2001), sección 4.
Referencias
- Alaoglu, Leonidas ; Erdős, Paul (1944). "Sobre números muy compuestos y similares". Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 56 (3): 448–469. doi : 10.2307 / 1990319 . JSTOR 1990319 . Señor 0011087 .
- Bertrand, Daniel (1997). "Funciones theta y trascendencia". El diario Ramanujan . 1 (4): 339–350. doi : 10.1023 / A: 1009749608672 . Señor 1608721 .
- Díaz, Guy (2001). "La conjetura de Mahler y otros resultados de trascendencia". En Nesterenko, Yuri V .; Philippon, Patrice (eds.). Introducción a la teoría de la independencia algebraica . Notas de clase en matemáticas. 1752 . Saltador. págs. 13-26. ISBN 3-540-41496-7. MR 1837824 {{citas inconsistentes}}CS1 maint: posdata ( enlace ).
- Lang, Serge (1966). Introducción a los números trascendentales . Reading, Mass .: Addison-Wesley Publishing Co. MR 0214547 .
- Ramachandra, Kanakanahalli (1967-1968). "Contribuciones a la teoría de los números trascendentales. I, II" . Acta Arith. 14 : 65–72, 73–88. doi : 10.4064 / aa-14-1-65-72 . Señor 0224566 .
- Ramanujan, Srinivasa (1915). "Números altamente compuestos" . Proc. London Math. Soc . 14 (2): 347–407. doi : 10.1112 / plms / s2_14.1.347 . Señor 2280858 .
- Schneider, Theodor (1957). Einführung in die transzendenten Zahlen (en alemán). Berlín-Göttingen-Heidelberg: Springer. Señor 0086842 .
- Waldschmidt, Michel (2000). Aproximación diofántica sobre grupos algebraicos lineales . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 326 . Berlín: Springer. ISBN 3-540-66785-7. Señor 1756786 .
- Waldschmidt, Michel (2005). "Álgebras de Hopf y números trascendentales". En Aoki, Takashi; Kanemitsu, Shigeru; Nakahara, Mikio; et al. (eds.). Funciones Zeta, topología y física cuántica: artículos del simposio celebrado en la Universidad de Kinki, Osaka, del 3 al 6 de marzo de 2003 . Desarrollos en matemáticas. 14 . Saltador. págs. 197–219. CiteSeerX 10.1.1.170.5648 . Señor 2179279 .
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enlaces externos
- "Conjetura de cuatro exponenciales" . PlanetMath .
- Weisstein, Eric W. "Conjetura de cuatro exponenciales" . MathWorld .