En matemáticas , un campo exponencial es un campo que tiene una operación adicional en sus elementos que amplía la idea habitual de exponenciación .
Definición
Un campo es una estructura algebraica compuesta por un conjunto de elementos, F , dos operaciones binarias , suma (+) tal que F forma un grupo abeliano con identidad 0 F y multiplicación (·), tal que F excluyendo 0 F forma un grupo abeliano bajo multiplicación con identidad 1 F , y tal que la multiplicación es distributiva sobre la suma, es decir, para cualquier elemento a , b , c en F , uno tiene a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c ) . Si hay también una función E que mapea F en F , y tal que para cada una y b en F se tiene
entonces F se llama un campo exponencial y la función E se llama una función exponencial en F . [1] Por lo tanto, una función exponencial en un campo es un homomorfismo entre el grupo aditivo de F y su grupo multiplicativo.
Función exponencial trivial
Hay una función exponencial trivial en cualquier campo, a saber, el mapa que envía cada elemento al elemento de identidad del campo bajo multiplicación. Así, cada campo es trivialmente también un campo exponencial, por lo que los casos de interés para los matemáticos ocurren cuando la función exponencial no es trivial.
A veces se requiere que los campos exponenciales tengan una característica cero, ya que la única función exponencial en un campo con una característica distinta de cero es la trivial. [2] Para ver esta primera nota, para cualquier elemento x en un campo con característica p > 0,
Por lo tanto, teniendo en cuenta el endomorfismo de Frobenius ,
Y entonces E ( x ) = 1 para cada x . [3]
Ejemplos de
- El campo de números reales R , o ( R , +, ·, 0, 1) como se puede escribir para resaltar que lo estamos considerando puramente como un campo con suma, multiplicación y constantes especiales cero y uno, tiene infinitos funciones exponenciales. Una de esas funciones es la función exponencial habitual , que es E ( x ) = e x , ya que tenemos e x + y = e x e y y e 0 = 1 , según se requiera. Considerando el campo ordenado R equipado con esta función, se obtiene el campo exponencial real ordenado, denotado R exp = ( R , +, ·, <, 0, 1, exp) .
- Cualquier número real a > 0 da una función exponencial en R , donde el mapa E ( x ) = a x satisface las propiedades requeridas.
- De manera análoga al campo exponencial real, existe el campo exponencial complejo , C exp = ( C , +, ·, 0, 1, exp) .
- Boris Zilber construyó un campo exponencial K exp que, de manera crucial, satisface la formulación equivalente de la conjetura de Schanuel con la función exponencial del campo. [4] Se conjetura que este campo exponencial es en realidad C exp , y una prueba de este hecho probaría así la conjetura de Schanuel.
Anillos exponenciales
El conjunto subyacente F puede no ser necesaria para ser un campo pero en su lugar se deja simplemente ser un anillo , R , y al mismo tiempo la función exponencial se relajó a ser un homomorfismo del grupo aditivo en R con el grupo multiplicativo de unidades en R . El objeto resultante se llama anillo exponencial . [2]
Un ejemplo de un anillo exponencial con una función exponencial no trivial es el anillo de enteros Z equipado con la función E que toma el valor +1 en enteros pares y −1 en enteros impares, es decir, la funciónEsta función exponencial, y la trivial, son las únicas dos funciones en Z que satisfacen las condiciones. [5]
Problemas abiertos
Los campos exponenciales son objetos muy estudiados en la teoría de modelos , que ocasionalmente proporcionan un vínculo entre ellos y la teoría de números, como en el caso del trabajo de Zilber sobre la conjetura de Schanuel . En la década de 1990 se demostró que R exp es un modelo completo , un resultado conocido como teorema de Wilkie . Este resultado, cuando se combina con el teorema de Khovanskiĭ sobre funciones pfaffian , prueba que R exp también es o-mínimo . [6] Por otro lado, se sabe que C exp no es modelo completo. [7] La cuestión de la decidibilidad sigue sin resolverse. Alfred Tarski planteó la cuestión de la decidibilidad de R exp y, por lo tanto, ahora se conoce como problema de función exponencial de Tarski . Se sabe que si la versión real de la conjetura de Schanuel es cierta, entonces R exp es decidible. [8]
Ver también
Notas
- ^ Helmut Wolter, Algunos resultados sobre campos exponenciales (encuesta) , Mémoires de la SMF 2 e série, 16 , (1984), pp.85-94.
- ^ a b Lou van den Dries, Anillos exponenciales, polinomios exponenciales y funciones exponenciales , Pacific Journal of Mathematics, 113 , no.1 (1984), pp.51-66.
- ^ Martin Bays, Jonathan Kirby, AJ Wilkie, Una propiedad de Schanuel para poderes exponencialmente trascendentales , (2008), arXiv : 0810.4457
- ^ Boris Zilber, Pseudo-exponenciación en campos algebraicamente cerrados de característica cero , Ann. Pure Appl. Logic, 132 , núm. 1 (2005), págs. 67–95.
- ^ Giuseppina Terzo, Algunas consecuencias de la conjetura de Schanuel en anillos exponenciales , Comunicaciones en álgebra, volumen 36, número 3 (2008), pp.1171-1189.
- ^ AJ Wilkie, Resultados de completitud del modelo para expansiones del campo ordenado de números reales mediante funciones restringidas de Pfaffian y la función exponencial , J. Amer. Matemáticas. Soc., 9 (1996), págs. 1051-1094.
- ^ David Marker, Un comentario sobre la pseudoexponenciación de Zilber , The Journal of Symbolic Logic, 71 , n. ° 3 (2006), págs. 791–798.
- ^ AJ Macintyre, AJ Wilkie, Sobre la decidibilidad del campo exponencial real , Kreisel 70th Birthday Volume, (2005).