En la teoría de números trascendental , una disciplina matemática, el teorema de Baker da un límite inferior para el valor absoluto de combinaciones lineales de logaritmos de números algebraicos . El resultado, probado por Alan Baker ( 1966 , 1967a , 1967b ), subsumió muchos resultados anteriores en la teoría de números trascendental y resolvió un problema planteado por Alexander Gelfond casi quince años antes. [1] Baker usó esto para probar la trascendencia de muchos números, para derivar límites efectivos para las soluciones de algunas ecuaciones diofánticas y para resolver el problema de números de clase.de encontrar todos los campos cuadráticos imaginarios con la clase número 1.
Historia
Para simplificar la notación, deje ser el conjunto de logaritmos en base e de números algebraicos distintos de cero , es decir
dónde denota el conjunto de números complejos ydenota los números algebraicos (la terminación algebraica de los números racionales ). Usando esta notación, varios resultados en la teoría de números trascendental se vuelven mucho más fáciles de enunciar. Por ejemplo, el teorema de Hermite-Lindemann se convierte en el enunciado de que cualquier elemento distinto de cero de es trascendental.
En 1934, Alexander Gelfond y Theodor Schneider demostraron de forma independiente el teorema de Gelfond-Schneider . Este resultado generalmente se expresa como: si a es algebraico y no es igual a 0 o 1, y si b es algebraico e irracional, entonces a b es trascendental. Tenga en cuenta que esto incluye todas las determinaciones de a b , que en la mayoría de los casos constituye un número infinito de números. De manera equivalente, sin embargo, dice que sison linealmente independientes de los números racionales, entonces son linealmente independientes de los números algebraicos. Así que siy λ 2 no es cero, entonces el cociente λ 1 / λ 2 es un número racional o trascendental. No puede ser un número irracional algebraico como √ 2 .
Aunque probar este resultado de "independencia lineal racional implica independencia lineal algebraica" para dos elementos de fue suficiente para su resultado y el de Schneider, Gelfond sintió que era crucial extender este resultado a arbitrariamente muchos elementos de De hecho, de Gel'fond (1960 , p. 177):
... uno puede asumir ... que el problema más urgente en la teoría de los números trascendentales es la investigación de las medidas de trascendencia de conjuntos finitos de logaritmos de números algebraicos.
Este problema fue resuelto catorce años después por Alan Baker y desde entonces ha tenido numerosas aplicaciones no solo en la teoría de la trascendencia, sino también en la teoría algebraica de números y también en el estudio de las ecuaciones diofánticas . Baker recibió la medalla Fields en 1970 tanto por este trabajo como por sus aplicaciones a las ecuaciones diofánticas.
Declaración
Con la notación anterior, el teorema de Baker es una generalización no homogénea del teorema de Gelfond-Schneider. Específicamente dice:
Teorema de Baker : si son linealmente independientes de los números racionales, entonces para cualquier número algebraico no todo cero, tenemos
Así como el teorema de Gelfond-Schneider es equivalente al enunciado sobre la trascendencia de los números de la forma a b , el teorema de Baker también implica la trascendencia de los números de la forma
donde los b i son todos algebraicos, irracionales y 1, b 1 ,…, b n son linealmente independientes de los racionales, y los a i son todos algebraicos y no 0 o 1.
Baker (1977) también dio varias versiones con constantes explícitas. Por ejemplo, si tiene altura como máximo y todos los numeros tener altura como máximo luego la forma lineal
es 0 o satisface
dónde
y el campo generado por y sobre los racionales tiene grado como máximo d . En el caso especial cuando β 0 = 0 y todos los son números enteros racionales, el término log Ω situado más a la derecha puede eliminarse.
Un resultado explícito de Baker y Wüstholz para una forma lineal Λ con coeficientes enteros produce un límite inferior de la forma
dónde
y d es el grado de la campo de número generado por el
Método de panadero
La demostración de Baker de su teorema es una extensión del argumento dado por Gel'fond (1960 , capítulo III, sección 4). Las ideas principales de la demostración se ilustran con la demostración de la siguiente versión cualitativa del teorema de Baker (1966) descrito por Serre (1971) :
- Si los números son linealmente independientes de los números racionales, para números algebraicos distintos de cero entonces son linealmente independientes de los números algebraicos.
La versión cuantitativa precisa de la teoría de Baker se puede probar reemplazando las condiciones de que las cosas son cero por condiciones de que las cosas son suficientemente pequeñas a lo largo de la prueba.
La idea principal de la prueba de Baker es construir una función auxiliar de varias variables que se desvanecen en orden superior en muchos puntos del formulario luego muestre repetidamente que se desvanece a un orden inferior en incluso más puntos de esta forma. Finalmente, el hecho de que se desvanezca (en orden 1) en suficientes puntos de esta forma implica, utilizando determinantes de Vandermonde, que existe una relación multiplicativa entre los números a i .
Construcción de la función auxiliar
Suponga que hay una relación
para números algebraicos α 1 ,…, α n , β 1 ,…, β n −1 . La función Φ tiene la forma
Los coeficientes enteros p se eligen de modo que no sean todos cero y Φ y sus derivadas de orden como máximo alguna constante M desaparezcan en para enteros con por alguna constante h . Esto es posible porque estas condiciones son ecuaciones lineales homogéneas en los coeficientes p , que tienen una solución distinta de cero siempre que el número de variables desconocidas p sea mayor que el número de ecuaciones. La relación lineal entre los logaritmos de los α es necesaria para reducir el número de ecuaciones lineales que deben satisfacerse. Además, utilizando el lema de Siegel , los tamaños de los coeficientes p pueden elegirse para que no sean demasiado grandes. Las constantes L , h y M deben ajustarse cuidadosamente para que funcione la siguiente parte de la demostración, y están sujetas a algunas restricciones, que son aproximadamente:
- L debe ser algo más pequeño que M para que funcione el argumento sobre ceros adicionales a continuación.
- Una pequeña potencia de h debe ser mayor que L para que funcione el paso final de la prueba.
- L n debe ser mayor que aproximadamente M n −1 h para que sea posible resolver los coeficientes p .
Las restricciones pueden satisfacerse tomando h como suficientemente grande, M como una potencia fija de h y L como una potencia ligeramente menor de h . Baker tomó M aproximadamente h 2 y L aproximadamente h 2−1 / 2 n .
La relación lineal entre los logaritmos de las α se utiliza para reducir L ligeramente; hablando en términos generales, sin que la condición L n debe ser mayor que aproximadamente M n -1 h se convertiría en L n debe ser mayor que aproximadamente M n h , que es incompatible con la condición de que L es algo menor que M .
Ceros de la función auxiliar
El siguiente paso es mostrar que Φ desaparece en un orden ligeramente menor en muchos más puntos de la forma. para enteros l . Esta idea fue la innovación clave de Baker: el trabajo anterior sobre este problema implicó intentar aumentar el número de derivadas que se desvanecen manteniendo fijo el número de puntos, lo que no parece funcionar en el caso multivariable. Esto se hace combinando dos ideas; Primero, se muestra que las derivadas en estos puntos son bastante pequeñas, utilizando el hecho de que muchas derivadas de Φ desaparecen en muchos puntos cercanos. Entonces se muestra que las derivadas de Φ en este punto están dadas por enteros algebraicos multiplicados por constantes conocidas. Si un entero algebraico tiene todos sus conjugados limitados por una constante conocida, entonces no puede ser demasiado pequeño a menos que sea cero, porque el producto de todos los conjugados de un entero algebraico distinto de cero es al menos 1 en valor absoluto. La combinación de estas dos ideas implica que Φ se desvanece en un orden ligeramente menor en muchos más puntosEsta parte del argumento requiere que Φ no aumente demasiado rápido; el crecimiento de Φ depende del tamaño de L , por lo que requiere un atado en el tamaño de L , que resulta ser más o menos que L debe ser algo menor que M . Más precisamente, Baker mostró que dado que Φ desaparece para ordenar M en h enteros consecutivos, también desaparece para ordenar M / 2 en h 1 + 1/8 n enteros consecutivos 1, 2, 3,…. Repitiendo este argumento J veces muestra que Φ se desvanece a la orden M / 2 J en h 1+ J / 8 n puntos, a condición de que h es suficientemente grande y L es algo menor que M / 2 J .
Luego, uno toma J lo suficientemente grande como para:
( J mayor que aproximadamente 16 n servirá si h 2 > L ) de modo que:
Finalización de la prueba
Por definición Se puede escribir como:
Por lo tanto a medida que l varía tenemos un sistema de ( L + 1) n ecuaciones lineales homogéneas en las ( L + 1) n incógnitas que por supuesto tiene una solución distinta de cero, lo que a su vez implica que el determinante de la matriz de coeficientes debe desaparecer. . Sin embargo, esta matriz es una matriz de Vandermonde y la fórmula para el determinante de dicha matriz fuerza una igualdad entre dos de los valores:
entonces son multiplicativamente dependientes. Tomar registros muestra que son linealmente dependientes de los racionales.
Extensiones y generalizaciones
Baker (1966) de hecho dio una versión cuantitativa del teorema, dando límites inferiores efectivos para la forma lineal en logaritmos. Esto se hace mediante un argumento similar, excepto que las declaraciones sobre algo que es cero se reemplazan por declaraciones que le dan un pequeño límite superior, y así sucesivamente.
Baker (1967a) mostró cómo eliminar el supuesto de 2π i en el teorema. Esto requiere una modificación del paso final de la prueba. Uno muestra que muchas derivadas de la funcióndesaparecen en z = 0, mediante un argumento similar al anterior. Pero estas ecuaciones para las primeras ( L +1) n derivadas nuevamente dan un conjunto homogéneo de ecuaciones lineales para los coeficientes p , por lo que el determinante es cero, y es nuevamente un determinante de Vandermonde, esta vez para los números λ 1 log α 1 + ⋯ + λ n log α n . Entonces, dos de estas expresiones deben ser iguales, lo que muestra que log α 1 ,…, log α n son linealmente dependientes de los racionales.
Baker (1967b) dio una versión no homogénea del teorema, mostrando que
es distinto de cero para números algebraicos distintos de cero β 0 ,…, β n , α 1 ,…, α n , y además le da un límite inferior efectivo. La prueba es similar al caso homogéneo: se puede suponer que
y se inserta una variable adicional z 0 en Φ de la siguiente manera:
Corolarios
Como se mencionó anteriormente, el teorema incluye numerosos resultados de trascendencia anteriores relacionados con la función exponencial, como el teorema de Hermite-Lindemann y el teorema de Gelfond-Schneider. No es tan abarcador como la conjetura de Schanuel, aún no probada , y no implica el teorema de los seis exponenciales ni, claramente, la conjetura todavía abierta de los cuatro exponenciales .
La razón principal por la que Gelfond deseaba una extensión de su resultado no era solo por una gran cantidad de nuevos números trascendentales. En 1935 utilizó las herramientas que había desarrollado para demostrar el teorema de Gelfond-Schneider para derivar un límite inferior para la cantidad
donde β 1 y β 2 son algebraicos y λ 1 y λ 2 están en. [2] La demostración de Baker dio límites inferiores para cantidades como la anterior pero con muchos términos arbitrariamente, y podría usar estos límites para desarrollar medios efectivos para abordar las ecuaciones diofánticas y resolver el problema de números de clase de Gauss .
Extensiones
El teorema de Baker nos otorga la independencia lineal sobre los números algebraicos de logaritmos de números algebraicos. Esto es más débil que demostrar su independencia algebraica . Hasta ahora no se ha avanzado en absoluto en este problema. Se ha conjeturado [3] que si λ 1 ,…, λ n son elementos deque son linealmente independientes de los números racionales, entonces también son algebraicamente independientes. Este es un caso especial de la conjetura de Schanuel, pero hasta ahora queda por probar que incluso existen dos números algebraicos cuyos logaritmos son algebraicamente independientes. De hecho, el teorema de Baker descarta las relaciones lineales entre logaritmos de números algebraicos a menos que existan razones triviales para ello; el siguiente caso más simple, el de descartar relaciones cuadráticas homogéneas , es la conjetura aún abierta de las cuatro exponenciales .
De manera similar, extender el resultado a la independencia algebraica pero en la configuración p-ádica , y usar la función de logaritmo p -ádico , sigue siendo un problema abierto. Se sabe que demostrar la independencia algebraica de logaritmos p -ádicos linealmente independientes de números p -ádicos algebraicos probaría la conjetura de Leopoldt sobre los rangos p -ádicos de unidades de un campo numérico.
Ver también
- Teorema del subgrupo analítico
Notas
- ^ Ver el párrafo final de Gelfond (1952).
- ^ Ver Gelfond (1952) y Sprindžuk (1993) para más detalles.
- ↑ Waldschmidt, conjetura 1.15.
Referencias
- Baker, Alan (1966), "Formas lineales en los logaritmos de números algebraicos. I", Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics , 13 : 204–216, doi : 10.1112 / S0025579300003971 , ISSN 0025-5793 , MR 0220680
- Baker, Alan (1967a), "Formas lineales en los logaritmos de números algebraicos. II", Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics , 14 : 102–107, doi : 10.1112 / S0025579300008068 , ISSN 0025-5793 , MR 0220680
- Baker, Alan (1967b), "Formas lineales en los logaritmos de números algebraicos. III", Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics , 14 : 220–228, doi : 10.1112 / S0025579300003843 , ISSN 0025-5793 , MR 0220680
- Baker, Alan (1990), Teoría de números trascendental , Cambridge Mathematical Library (2a ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39791-9, MR 0422171
- Baker, Alan (1977), "La teoría de las formas lineales en logaritmos", Teoría de la trascendencia: avances y aplicaciones (Proc. Conf., Univ. Cambridge, Cambridge, 1976) , Boston, MA: Academic Press , págs. 1–27 , ISBN 978-0-12-074350-6, MR 0498417
- Baker, A .; Wüstholz, G. (1993), "Formas logarítmicas y variedades de grupo", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 442 : 19–62, doi : 10.1515 / crll.1993.442.19 , MR 1234835.
- Baker, Alan; Wüstholz, G. (2007), Formas logarítmicas y geometría diofántica , New Mathematical Monographs, 9 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88268-2, MR 2382891
- Gel'fond, AO (1960) [1952], Números trascendentales y algebraicos , ediciones de Dover Phoenix, Nueva York: Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-49526-2, MR 0057921
- Serre, Jean-Pierre (1971) [1969], "Travaux de Baker (Exposé 368)", Séminaire Bourbaki. Vol. 1969/70: Exposés 364--381 , Lecture Notes in Mathematics, 180 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 73–86
- Sprindžuk, Vladimir G. (1993), Ecuaciones diofánticas clásicas , Lecture Notes in Mathematics, 1559 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0073786 , ISBN 978-3-540-57359-3, MR 1288309
- Waldschmidt, Michel (2000), Aproximación diofántica en grupos algebraicos lineales , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 326 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66785-8, MR 1756786