Un número esquizofrénico (también conocido como número racional simulado ) es un número irracional que muestra ciertas características de los números racionales .
Definición
El Libro Universal de Matemáticas define "número esquizofrénico" como:
Un nombre informal para un número irracional que muestra patrones tan persistentes en su expansión decimal, que tiene la apariencia de un número racional. Se puede obtener un número esquizofrénico de la siguiente manera. Para cualquier número entero positivo n, sea f ( n ) el número entero dado por la recurrencia f ( n ) = 10 f ( n - 1) + n con el valor inicial f (0) = 0. Por lo tanto, f (1) = 1 , f (2) = 12, f (3) = 123, y así sucesivamente. Las raíces cuadradas de f ( n ) para enteros impares n dan lugar a una curiosa mezcla que parece ser racional por períodos y luego se desintegra en irracionalidad. Esto se ilustra con los primeros 500 dígitos de √ f (49) :
1111111111111111111111111.1111111111111111111111 08605555555555555555555555555555555555555555555 2730541666666666666666666666666666666666666666 02962603472222222222222222222222222222222222222 04265639409288194444444444444444444444444444444 387755512504011718749999999999999999999999999999 80824968771148630533854166666666666666666666666 598718573862144063865559895833333333333333333333 084346040762760820694027709960937499999999999999 0642227587555983066639430321587456597222222222 1863492016791180833081844 ...Las cadenas repetidas se acortan progresivamente y las cadenas mezcladas se hacen más grandes hasta que finalmente las cadenas repetidas desaparecen. Sin embargo, aumentando n podemos prevenir la desaparición de las cadenas repetidas todo el tiempo que queramos. Los dígitos repetidos son siempre 1, 5, 6, 2, 4, 9, 6, 3, 9, 2, .... [1]
La secuencia de números generada por la relación de recurrencia f ( n ) = 10 f ( n - 1) + n descrita anteriormente es:
- 0, 1, 12, 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 1234567900, ... (secuencia A014824 en la OEIS ).
- f (49) = 1234567901234567901234567901234567901234567901229
Las partes enteras de sus raíces cuadradas,
- 1, 3, 11, 35, 111, 351, 1111, 3513, 11111, 35136, 111111, 351364, 1111111, ... (secuencia A068995 en la OEIS ),
alternar entre números con dígitos irregulares y números con dígitos repetidos, de manera similar a las alternancias que aparecen dentro de la parte fraccionaria de cada raíz cuadrada.
Caracteristicas
El número esquizofrénico que se muestra arriba es el caso especial de un fenómeno más general que aparece en el-arias expansiones de raíces cuadradas de las soluciones de la recurrencia , para todos , con valor inicial tomado en números enteros positivos impares . El caso y corresponde al ejemplo anterior.
De hecho, Tóth demostró que estos números irracionales presentan patrones esquizofrénicos dentro de suexpansión -ariana, [2] compuesta por bloques que comienzan con un bloque de dígitos no repetidos seguido de un bloque de dígitos repetidos. Cuando se juntan en la base, estos bloques forman el patrón esquizofrénico . Por ejemplo, en base, el número comienza:
1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0600444444444444444444444444444444444444444444444 02144333333333333333333333333333333333333333333 1751244226666666666666666666666666666666666666 ....
El patrón se debe a la expansión de Taylor de la raíz cuadrada de la solución de la recurrencia tomada en números enteros positivos impares. Las diversas contribuciones de dígitos de la expansión de Taylor producen los bloques de dígitos repetidos y no repetidos que forman el patrón esquizofrénico.
Otras propiedades
En algunos casos, en lugar de repetir secuencias de dígitos, encontramos patrones de dígitos repetidos . Por ejemplo, el número:
1111111111111111111111111.11111111111111111111111111111 01200 202020202020202020202020202020202020202020 11010102 00120012000012001200120012001200120012 001021120020211210002112100021121000211210 ...
muestra patrones de dígitos repetidos en la base .
Números que son esquizofrénicos en basetambién son esquizofrénicos en la base(hasta cierto límite, ver Tóth). Un ejemplo es arriba, que todavía es esquizofrénico en la base :
1444444444444.4444444444 350666666666666666666666 41120505050505050505050 33750675307530753075307 40552382 ...
Historia
Clifford A. Pickover ha dicho que Kevin Brown descubrió los números esquizofrénicos.
En su libro Wonders of Numbers ha descrito así la historia de los números esquizofrénicos:
La construcción y el descubrimiento de números esquizofrénicos fue impulsado por una afirmación (publicada en el grupo de noticias Usenet sci.math) de que no se esperaba que los dígitos de un número irracional elegido al azar mostraran patrones obvios en los primeros 100 dígitos. Se dijo que si se encontraba tal patrón, sería una prueba irrefutable de la existencia de Dios o de la inteligencia extraterrestre. (Un número irracional es cualquier número que no puede ser expresado como una relación de dos números enteros. Números trascendentes como e y π , y no entero irracionales como raíz cuadrada de 2 son irracionales.) [3]
Ver también
Referencias
- ^ Darling, David (2004), El libro universal de las matemáticas: de Abracadabra a las paradojas de Zeno , John Wiley & Sons, p. 12, ISBN 9780471667001
- ^ Tóth, László (2020), "On Schizophrenic Patterns in b-ary Expansions of Some Irrational Numbers", Proceedings of the American Mathematical Society , 148 (1): 461–469, arXiv : 2002.06584 , Bibcode : 2020arXiv200206584T , doi : 10.1090 / proc / 14863
- ^ Pickover, Clifford A. (2003), "Números esquizofrénicos", Maravillas de los números: Aventuras en matemáticas, mente y significado , Oxford University Press, págs. 210-211, ISBN 9780195157994
enlaces externos
- Números racionales simulados, KS Brown, páginas matemáticas.