Teorema de Schneider-Lang
En matemáticas , el teorema de Schneider-Lang es un refinamiento de Lang (1966) de un teorema de Schneider (1949) sobre la trascendencia de los valores de las funciones meromórficas . El teorema implica los teoremas de Hermite-Lindemann y Gelfond-Schneider , e implica la trascendencia de algunos valores de funciones elípticas y funciones elípticas modulares .
Fijar un cuerpo numérico K y meromórfico f 1 , ..., f N , de los cuales al menos dos sean algebraicamente independientes y de orden ρ 1 y ρ 2 , y tal que f j ′ ∈ K [ f 1 , ..., f N ] para cualquier j . Entonces hay como mucho
Para probar el resultado, Lang tomó dos funciones algebraicamente independientes de f 1 , ..., f N , digamos, f y g , y luego creó una función auxiliar F ∈ K [ f , g ] . Utilizando el lema de Siegel , demostró que se podía suponer que F se desvanecía a un orden alto en ω 1 , ..., ω m . Por lo tanto, una derivada de alto orden de F toma un valor de tamaño pequeño en uno de esos ω is, "tamaño" aquí se refiere a una propiedad algebraica de un número . Usando el principio del módulo máximo , Lang también encontró una estimación separada para los valores absolutos de las derivadas de F. Los resultados estándar conectan el tamaño de un número y su valor absoluto, y las estimaciones combinadas implican el límite reclamado en m .
Bombieri & Lang (1970) y Bombieri (1970) generalizaron el resultado a funciones de varias variables. Bombieri demostró que si K es un cuerpo numérico algebraico y f 1 , ..., f N son funciones meromórficas de d variables complejas de orden máximo ρ generando un cuerpo K ( f 1 , ..., f N ) de grado de trascendencia al menos d + 1 que es cerrado bajo todas las derivadas parciales , entonces el conjunto de puntos donde todas las funciones f n tienen valores en Kestá contenida en una hipersuperficie algebraica en C d de grado como máximo
Waldschmidt (1979 , teorema 5.1.1) dio una prueba más simple del teorema de Bombieri, con un límite ligeramente más fuerte de d (ρ 1 + ... + ρ d +1 )[ K : Q ] para el grado, donde ρ j son los órdenes de d + 1 funciones algebraicamente independientes. El caso especial d = 1 da el teorema de Schneider-Lang, con un límite de (ρ 1 + ρ 2 )[ K : Q ] para el número de puntos.
Si es un polinomio con coeficientes enteros , todas las funciones son algebraicas en un conjunto denso de puntos de la hipersuperficie .
