En matemáticas , específicamente en teoría de números trascendental y aproximación diofántica , el lema de Siegel se refiere a límites en las soluciones de ecuaciones lineales obtenidas por la construcción de funciones auxiliares . La existencia de estos polinomios fue probada por Axel Thue ; [1] La demostración de Thue utilizó el principio de caja de Dirichlet . Carl Ludwig Siegel publicó su lema en 1929. [2] Es un teorema de existencia pura para un sistema de ecuaciones lineales .
El lema de Siegel se ha perfeccionado en los últimos años para producir límites más precisos en las estimaciones dadas por el lema. [3]
Declaración
Supongamos que tenemos un sistema de M ecuaciones lineales en N incógnitas tales que N > M , digamos
donde los coeficientes son números enteros racionales, no todos 0, y delimitada por B . Entonces el sistema tiene una solución
con X s todos los enteros racionales, no todos 0, y delimitados por
Bombieri y Vaaler (1983) dieron el siguiente límite más agudo para las X :
donde D es el máximo común divisor de los M × M menores de la matriz A , y A T es su transpuesta . Su prueba implicó reemplazar el principio del casillero por técnicas de la geometría de los números .
Ver también
Referencias
- ↑ Thue, Axel (1909). "Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen". J. Reine Angew. Matemáticas. 1909 (135): 284-305. doi : 10.1515 / crll.1909.135.284 . S2CID 125903243 .
- ^ Siegel, Carl Ludwig (1929). "Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen". Abh. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Matemáticas. Kl. : 41–69., reimpreso en Gesammelte Abhandlungen, volumen 1; el lema se enuncia en la página 213
- ^ Bombieri, E .; Mueller, J. (1983). "Sobre las medidas efectivas de irracionalidad paray números relacionados ". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 342 : 173-196.
- ^ ( Hindry y Silverman 2000 ) Lema D.4.1, página 316.
- Bombieri, E .; Vaaler, J. (1983). "Sobre el lema de Siegel". Inventiones Mathematicae . 73 (1): 11–32. Código Bibliográfico : 1983InMat..73 ... 11B . doi : 10.1007 / BF01393823 . S2CID 121274024 .
- Hindry, Marc ; Silverman, Joseph H. (2000). Geometría diofántica . Textos de Posgrado en Matemáticas. 201 . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98981-5. Señor 1745599 .
- Wolfgang M. Schmidt . Aproximación diofántica . Notas de clase en matemáticas 785. Springer. (1980 [1996 con correcciones menores]) (Páginas 125-128 y 283-285)
- Wolfgang M. Schmidt. "Capítulo I: Lema y alturas de Siegel" (páginas 1-33). Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas , Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.