El grupo de Schrödinger es el grupo de simetría de la ecuación de Schrödinger de partículas libres . Matemáticamente, el grupo SL (2, R) actúa sobre el grupo de Heisenberg por automorfismos externos, y el grupo de Schrödinger es el producto semidirecto correspondiente.
Álgebra de Schrödinger
El álgebra de Schrödinger es el álgebra de Lie del grupo de Schrödinger. No es semi-simple . En una dimensión espacial, se puede obtener como una suma semidirecta del álgebra de Lie sl (2, R) y el álgebra de Heisenberg ; se aplican construcciones similares a dimensiones espaciales superiores.
Contiene un álgebra de Galilei con extensión central.
Dónde son generadores de rotaciones ( operador de momento angular ), traslaciones espaciales ( operador de momento ), impulsos galileanos y traslación de tiempo ( hamiltoniano ) correspondientemente (Notas: es la unidad imaginaria, . La forma específica de los conmutadores de los generadores de rotación. es el del espacio tridimensional, entonces .). La extensión central M tiene una interpretación como masa no relativista y corresponde a la simetría de la ecuación de Schrödinger bajo transformación de fase (y a la conservación de probabilidad).
Hay dos generadores más, que designaremos por D y C . Tienen las siguientes relaciones de conmutación:
Los generadores H , C y D forman el álgebra sl (2, R).
Una notación más sistemática permite convertir estos generadores en las cuatro (infinitas) familias y , donde n ∈ ℤ es un número entero y m ∈ ℤ + 1/2 es un medio entero yj, k = 1, ..., d etiqueta la dirección espacial, en d dimensiones espaciales. Los conmutadores que no desaparecen del álgebra de Schrödinger se vuelven (forma euclidiana)
El álgebra de Schrödinger es de dimensión finita y contiene los generadores. En particular, los tres generadoresabarcan la subálgebra sl (2, R). Las traducciones espaciales son generadas por y las transformaciones de Galilei por .
En la notación elegida, se ve claramente que existe una extensión de dimensión infinita, que se llama álgebra de Schrödinger-Virasoro . Entonces, los generadorescon n entero abarcan un ciclo de álgebra de Virasoro. Una representación explícita como transformaciones de tiempo-espacio está dada por, con n ∈ ℤ y m ∈ ℤ + 1/2 [1]
Esto muestra cómo la extensión central del álgebra de Schrödinger no semi-simple y de dimensión finita se convierte en un componente de una familia infinita en el álgebra de Schrödinger-Virasoro. Además, y en analogía con el álgebra de Virasoro o el álgebra de Kac-Moody , son posibles más extensiones centrales. Sin embargo, un resultado que no desaparece solo existe para el conmutador, donde debe ser de la forma familiar Virasoro, a saber
o para el conmutador entre las rotaciones , donde debe tener una forma Kac-Moody. Cualquier otra extensión central posible puede ser absorbida por los generadores de álgebra de Lie.
El papel del grupo de Schrödinger en la física matemática
Aunque el grupo de Schrödinger se define como un grupo de simetría de la ecuación de Schrödinger de partículas libres , se realiza en algunos sistemas no relativistas que interactúan (por ejemplo, átomos fríos en la criticidad).
El grupo de Schrödinger en d dimensiones espaciales se puede incrustar en un grupo conforme relativista en d + 1 dimensiones SO (2, d + 2) . Esta incrustación está relacionada con el hecho de que se puede obtener la ecuación de Schrödinger a partir de la ecuación sin masa de Klein-Gordon a través de la compactación de Kaluza-Klein a lo largo de dimensiones similares a nulas y la elevación de Bargmann de la teoría de Newton-Cartan . Esta incrustación también puede verse como la extensión del álgebra de Schrödinger a la subálgebra parabólica máxima de SO (2, d + 2) .
La simetría del grupo de Schrödinger puede dar lugar a propiedades exóticas a los sistemas bosónicos y fermiónicos que interactúan, como los superfluidos en los bosones [2] , [3] y los líquidos Fermi y líquidos no Fermi en los fermiones. [4] Tienen aplicaciones en materia condensada y átomos fríos.
El grupo de Schrödinger también surge como simetría dinámica en aplicaciones de materia condensada: es la simetría dinámica del modelo de Edwards-Wilkinson de crecimiento de la interfaz cinética. [5] También describe la cinética del orden de fase, después de un enfriamiento de temperatura de la fase desordenada a la ordenada, en sistemas magnéticos.
Referencias
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- J. Unterberger, C. Roger, El álgebra de Schrödinger-Virasoro , (Springer, Heidelberg 2012)
Ver también
- Ecuación de Schrödinger
- Transformación galilea
- Grupo Poincaré