En el área de las matemáticas llamado la teoría de grupos combinatoria , el gráfico de clase lateral Schreier es un gráfico asociado a un grupo G , un grupo electrógeno { x i : i en I } de G , y un subgrupo H ≤ G . El gráfico de Schreier codifica la estructura abstracta de un grupo módulo una relación de equivalencia formada por la clase lateral.
El gráfico lleva el nombre de Otto Schreier , quien utilizó el término "Nebengruppenbild". [1] Se hizo una definición equivalente en uno de los primeros artículos de Todd y Coxeter. [2]
Descripción
Los vértices de la gráfica son los correctos clases laterales Hg = { hg : h en H } para g en G .
Los bordes de la gráfica tienen la forma ( Hg , Hgx i ).
El gráfico de Cayley del grupo G con { x i : i en I } es el gráfico de clases laterales de Schreier para H = {1 G } ( Gross y Tucker 1987 , p. 73).
Un árbol de expansión de un gráfico de clases laterales de Schreier corresponde a una transversal de Schreier, como en el lema del subgrupo de Schreier ( Conder 2003 ).
El libro "Categorías y Groupoids" que se enumeran a continuación relaciona esto con la teoría de cubrir los morfismos de los Groupoids . Un subgrupo H de un grupo G determina un morfismo de cobertura de los grupoides.y si X es un grupo electrógeno para G, entonces su imagen inversa bajo p es la gráfica de Schreier de (G, X) .
Aplicaciones
El gráfico es útil para comprender la enumeración de clases laterales y el algoritmo de Todd-Coxeter .
Los gráficos de Coset se pueden utilizar para formar grandes representaciones de permutación de grupos y fueron utilizados por Graham Higman para mostrar que los grupos alternos de grado suficientemente grande son grupos de Hurwitz ( Conder 2003 ).
Cada gráfico de vértice transitivo es un gráfico de clase lateral.
Referencias
- ^ Schreier, Otto (diciembre de 1927). "Die Untergruppen der freien Gruppen". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 5 (1): 161–183. doi : 10.1007 / BF02952517 .
- ^ Todd, JA; Coxeter, HSM (octubre de 1936). "Un método práctico para enumerar clases sociales de un grupo abstracto finito" . Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 5 (1): 26–34. doi : 10.1017 / S0013091500008221 . Consultado el 5 de marzo de 2018 .
- Magnus, W .; Karrass, A .; Solitar, D. (1976), Teoría de grupos combinatoria , Dover
- Conder, Marston (2003), "Acciones grupales sobre gráficos, mapas y superficies con máxima simetría", Grupos St. Andrews 2001 en Oxford. Vol. Yo , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 304 , Cambridge University Press , págs. 63–91, MR 2051519
- Gross, Jonathan L .; Tucker, Thomas W. (1987), Teoría de grafos topológicos , Serie Wiley-Interscience en Matemáticas discretas y optimización, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-04926-5, MR 0898434
- Gráficos de Schreier del grupo Basílica Autores: Daniele D'Angeli, Alfredo Donno, Michel Matter, Tatiana Nagnibeda
- Philip J. Higgins, Categorías y Groupoids, van Nostrand, Nueva York, Lecture Notes, 1971, republicado como TAC Reprint, 2005