cálculo de Schubert
En matemáticas , el cálculo de Schubert es una rama de la geometría algebraica introducida en el siglo XIX por Hermann Schubert , con el fin de resolver varios problemas de conteo de la geometría proyectiva (parte de la geometría enumerativa ). Fue un precursor de varias teorías más modernas, por ejemplo , clases características ., y en particular sus aspectos algorítmicos siguen siendo de interés actual. La frase "cálculo de Schubert" se usa a veces para referirse a la geometría enumerativa de los subespacios lineales, aproximadamente equivalente a describir el anillo de cohomología de los grassmannianos, y a veces se usa para referirse a la geometría enumerativa más general de las variedades no lineales. Incluso de manera más general, el "cálculo de Schubert" a menudo se entiende que abarca el estudio de preguntas análogas en teorías de cohomología generalizada .
Los objetos introducidos por Schubert son las celdas de Schubert , que son conjuntos localmente cerrados en un Grassmanniano definidos por las condiciones de incidencia de un subespacio lineal en el espacio proyectivo con una bandera dada . Para más detalles ver variedad Schubert .
La teoría de la intersección de estas celdas, que puede verse como la estructura del producto en el anillo de cohomología de la Grassmanniana de clases de cohomología asociadas , en principio permite predecir los casos en que las intersecciones de las celdas dan como resultado un conjunto finito de puntos, que son potencialmente respuestas concretas a preguntas enumerativas. Un resultado teórico de apoyo es que las celdas de Schubert (o más bien, sus clases) abarcan todo el anillo de cohomología.
En los cálculos detallados, los aspectos combinatorios entran tan pronto como las celdas deben indexarse. Elevado del Grassmannian , que es un espacio homogéneo , al grupo lineal general que actúa sobre él, cuestiones similares están involucradas en la descomposición de Bruhat y la clasificación de subgrupos parabólicos (por matriz de bloques ).
El cálculo de Schubert se puede construir usando el anillo de Chow del Grassmannian donde los ciclos de generación están representados por datos geométricamente significativos. [1] Denotar como el Grassmanniano de -planos en un espacio vectorial de dimensión fija , y su anillo de Chow; tenga en cuenta que a veces el Grassmannian se denota como si el espacio vectorial no estuviera dado explícitamente. Asociado a una bandera completa arbitraria
