Lista de Schwarz
En la teoría matemática de funciones especiales , la lista de Schwarz o la tabla de Schwartz es la lista de 15 casos encontrados por Hermann Schwarz ( 1873 , p. 323) cuando las funciones hipergeométricas pueden expresarse algebraicamente. Más precisamente, es una lista de parámetros que determinan los casos en los que la ecuación hipergeométrica tiene un grupo de monodromía finito , o equivalentemente tiene dos soluciones independientes que son funciones algebraicas . Enumera 15 casos, divididos por la clase de isomorfismo del grupo de monodromía (excluyendo el caso de un grupo cíclico), y fue derivado por primera vez por Schwarz mediante métodos de geometría analítica compleja. En consecuencia, el enunciado no está directamente en términos de los parámetros que especifican la ecuación hipergeométrica, sino en términos de cantidades utilizadas para describir ciertos triángulos esféricos .
La importancia más amplia de la tabla, para las ecuaciones diferenciales generales de segundo orden en el plano complejo, fue demostrada por Felix Klein , quien demostró un resultado en el sentido de que los casos de monodromía finita para tales ecuaciones y singularidades regulares podrían atribuirse a cambios de variable. (mapeos analíticos complejos de la esfera de Riemann consigo misma) que reducen la ecuación a una forma hipergeométrica. De hecho, más es cierto: la lista de Schwarz subyace a todas las ecuaciones de segundo orden con singularidades regulares en superficies compactas de Riemann que tienen monodromía finita, mediante un retroceso de la ecuación hipergeométrica en la esfera de Riemann mediante un mapeo analítico complejo, de grado computable a partir de los datos de la ecuación. [1] [2]
Los números son (hasta permutaciones, cambios de signo y la adición de con incluso) las diferencias de los exponentes de la ecuación diferencial hipergeométrica en los tres puntos singulares . Son números racionales si y solo si y son, un punto que importa en los enfoques aritméticos más que geométricos de la teoría.
T. Kimura dio una extensión de los resultados de Schwarz, quien trató casos en los que el componente de identidad del grupo diferencial de Galois de la ecuación hipergeométrica es un grupo resoluble . [3] [4] Un resultado general que conecta el grupo G de Galois diferencial y el grupo de monodromía Γ establece que G es el cierre de Zariski de Γ - este teorema se atribuye en el libro de Matsuda a Michio Kuga . Mediante la teoría diferencial general de Galois, la tabla de Kimura-Schwarz resultante clasifica los casos de integrabilidad de la ecuación mediante funciones algebraicas y cuadraturas .
Otra lista relevante es la de K. Takeuchi , quien clasificó los grupos de triángulos (hiperbólicos) que son grupos aritméticos (85 ejemplos). [5]