En matemáticas , específicamente en la teoría de grupos , el componente de identidad de un grupo G se refiere a varias nociones estrechamente relacionadas del subgrupo conectado más grande de G que contiene el elemento de identidad.
En la topología de conjuntos de puntos , el componente de identidad de un grupo topológico G es el componente conectado G 0 de G que contiene el elemento de identidad del grupo. El componente de ruta de identidad de un grupo topológico G es el componente de ruta de G que contiene el elemento de identidad del grupo.
En geometría algebraica , el componente de identidad de un grupo algebraico G sobre un campo k es el componente de identidad del espacio topológico subyacente. El componente de identidad de un esquema de grupo G sobre un esquema de base S es, en términos generales, el esquema de grupo G 0 cuya fibra sobre los puntos s de S es el componente conectado (G s ) 0 de la fibra G s , un grupo algebraico. [1]
Propiedades
El componente de identidad G 0 de un grupo topológico o algebraica G es un cerrado subgrupo normal de G . Está cerrado porque los componentes siempre están cerrados. Es un subgrupo ya que la multiplicación y la inversión en un grupo topológico o algebraico son mapas continuos por definición. Además, para cualquier automorfismo continuo a de G tenemos
- a ( G 0 ) = G 0 .
Por tanto, G 0 es un subgrupo característico de G , por lo que es normal.
El componente de identidad G 0 de un grupo topológico G no tiene que ser abierto en G . De hecho, podemos tener G 0 = { e }, en cuyo caso G está totalmente desconectado . Sin embargo, el componente de identidad de un espacio conectado a una ruta local (por ejemplo, un grupo de Lie ) siempre está abierto, ya que contiene una vecindad de { e } conectada a una ruta ; y por lo tanto es un conjunto cerrado .
El componente de la ruta de identidad de un grupo topológico puede, en general, ser más pequeño que el componente de identidad (ya que la conectividad de la ruta es una condición más fuerte que la conectividad), pero estos concuerdan si G está conectado a la ruta localmente.
Grupo de componentes
El grupo cociente G / G 0 se llama el grupo de componentes o grupo de componentes de G . Sus elementos son sólo los componentes conectados de G . El grupo de componentes G / G 0 es un grupo discreto si y solo si G 0 está abierto. Si G es un grupo algebraico de tipo finito , como un grupo algebraico afín , entonces G / G 0 es en realidad un grupo finito .
De manera similar, se puede definir el grupo de componentes de la ruta como el grupo de componentes de la ruta (cociente de G por el componente de la ruta de identidad), y en general el grupo de componentes es un cociente del grupo de componentes de la ruta, pero si G está conectado localmente con la ruta, estos grupos están de acuerdo . El grupo de componentes de la ruta también se puede caracterizar como el grupo de homotopía cero ,
Ejemplos de
- El grupo de números reales distintos de cero con multiplicación ( R *, •) tiene dos componentes y el grupo de componentes es ({1, −1}, •).
- Considere el grupo de unidades U en el anillo de números complejos divididos . En la topología ordinaria del plano { z = x + j y : x , y ∈ R }, U se divide en cuatro componentes por las líneas y = x y y = - x donde z no tiene inversa. Entonces U 0 = { z : | y | < x }. En este caso, el grupo de componentes de U es isomorfo al grupo de cuatro de Klein .
- El componente de identidad del grupo aditivo ( Z p , +) de enteros p-ádicos es el conjunto singleton {0}, ya que Z p está totalmente desconectado.
- El grupo Weyl de un grupo algebraico reductora G es el grupo de componentes de la grupo normalizador de un toro maximal de G .
- Considere el esquema de grupo μ 2 = Spec ( Z [ x ] / ( x 2 - 1)) de segundas raíces de unidad definidas sobre el esquema base Spec ( Z ). Topológicamente, μ n consta de dos copias de la curva Spec ( Z ) pegadas en el punto (es decir, ideal primo ) 2. Por lo tanto, μ n está conectado como un espacio topológico, por lo tanto, como un esquema. Sin embargo, μ 2 no es igual a su componente de identidad porque la fibra sobre cada punto de Spec ( Z ) excepto 2 consta de dos puntos discretos.
Un grupo algebraico G sobre un campo topológico K admite dos topologías naturales, la topología de Zariski y la topología heredada de K . El componente de identidad de G a menudo cambia según la topología. Por ejemplo, el grupo lineal general GL n ( R ) está conectado como un grupo algebraico pero tiene dos componentes de trayectoria como un grupo de Lie, las matrices de determinante positivo y las matrices de determinante negativo. Cualquier grupo algebraico conectado sobre un campo local K no arquimediano está totalmente desconectado en la topología K y, por lo tanto, tiene un componente de identidad trivial en esa topología.
Referencias
- ^ SGA 3, v. 1, Exposé VI, Definición 3.1
- Lev Semenovich Pontryagin , Grupos topológicos , 1966.
- Demazure, Michel ; Gabriel, Pierre (1970), Groupes algébriques. Tomo I: Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs , París: Masson, ISBN 978-2225616662, MR 0302656