Función del triángulo de Schwarz
En el análisis complejo , la función del triángulo de Schwarz o la función s de Schwarz es una función que mapea de manera conforme el semiplano superior a un triángulo en el semiplano superior que tiene líneas o arcos circulares para las aristas. Sean πα , πβ y πγ los ángulos interiores en los vértices del triángulo. Si cualquiera de α, β y γ es mayor que cero, entonces la función del triángulo de Schwarz se puede dar en términos de funciones hipergeométricas como:
donde a = (1 − α − β − γ) / 2, b = (1 − α + β − γ) / 2, c = 1 − α, a ′ = a - c + 1 = (1 + α − β −γ) / 2, b ′ = b - c + 1 = (1 + α + β − γ) / 2 y c ′ = 2 - c = 1 + α. Este mapeo tiene puntos singulares en z = 0, 1 y ∞, correspondientes a los vértices del triángulo con ángulos πα, πγ y πβ respectivamente. En estos puntos singulares,
Esta función se puede utilizar para mapear el semiplano superior a un triángulo esférico en la esfera de Riemann si α + β + γ> 1, o un triángulo hiperbólico en el disco de Poincaré si α + β + γ <1. Cuando α + β + γ = 1, entonces el triángulo es un triángulo euclidiano con bordes rectos: a = 0 , y la fórmula se reduce a la dada por la transformación de Schwarz-Christoffel . En el caso especial de los triángulos ideales , donde todos los ángulos son cero, la función triángulo produce la función lambda modular .
Esta función fue introducida por HA Schwarz como la función inversa del mapeo conforme que uniformiza un triángulo de Schwarz . Al aplicar sucesivas reflexiones hiperbólicas en sus lados, dicho triángulo genera una teselación del semiplano superior (o el disco unitario después de la composición con la transformada de Cayley ). El mapeo conforme del semiplano superior al interior del triángulo geodésico generaliza la transformación de Schwarz-Christoffel . Por el principio de reflexión de Schwarz, el grupo discreto generado por reflejos hiperbólicos en los lados del triángulo induce una acción sobre el espacio bidimensional de soluciones. En el subgrupo normal que conserva la orientación, esta representación bidimensional corresponde a la monodromía de la ecuación diferencial ordinaria e induce un grupo de transformaciones de Möbius en cocientes de soluciones. Dado que la función triangular es la función inversa de dicho cociente, es, por tanto, una función automórfica para este grupo discreto de transformaciones de Möbius. Este es un caso especial de un método general de Henri Poincaré que asocia formas automórficas con ecuaciones diferenciales ordinarias con puntos singulares regulares..
En esta sección se dan dos modelos diferentes para la geometría hiperbólica en el disco unitario o, de manera equivalente, en el semiplano superior. [1]
Es un subgrupo de G c = SL (2, C ), el grupo de matrices complejas de 2 × 2 con determinante 1. El grupo G c actúa mediante transformaciones de Möbius en el plano complejo extendido. El subgrupo G actúa como automorfismos del disco unitario D y el subgrupo G 1 = SL (2, R ) actúa como automorfismos del semiplano superior . Si
