En matemáticas , la transformada de Cayley , que lleva el nombre de Arthur Cayley , es cualquiera de un grupo de cosas relacionadas. Como se ha descrito originalmente por Cayley (1846) , la transformada de Cayley es un mapeo entre matrices antisimétrica y matrices ortogonales especiales . La transformación es una homografía utilizada en análisis real , análisis complejo y análisis cuaterniónico . En la teoría de los espacios de Hilbert , la transformada de Cayley es un mapeo entre operadores lineales ( Nikol'skii 2001 ).
Homografía real
La transformada de Cayley es un automorfismo de la línea proyectiva real que permuta los elementos de {1, 0, −1, ∞} en secuencia. Por ejemplo, asigna los números reales positivos al intervalo [−1, 1]. Por lo tanto, la transformada de Cayley se utiliza para adaptar polinomios de Legendre para su uso con funciones en los números reales positivos con funciones racionales de Legendre .
Como una homografía real , los puntos se describen con coordenadas proyectivas y el mapeo es
Homografía compleja
En el plano proyectivo complejo, la transformada de Cayley es: [1] [2]
Dado que {∞, 1, –1} se asigna a {1, –i, i}, y las transformaciones de Möbius permutan los círculos generalizados en el plano complejo , f asigna la línea real al círculo unitario . Además, dado que f es continua e i se lleva a 0 por f , el semiplano superior se asigna al disco unitario .
En términos de los modelos de geometría hiperbólica , esta transformada de Cayley relaciona el modelo de semiplano de Poincaré con el modelo de disco de Poincaré . En ingeniería eléctrica, la transformada de Cayley se ha utilizado para mapear un semiplano de reactancia en el gráfico de Smith utilizado para igualar la impedancia de las líneas de transmisión.
Homografía de cuaternión
En el espacio de cuatro dimensiones de los cuaterniones q = a + b i + c j + d k, los versores
- forman la unidad de 3 esferas .
Dado que los cuaterniones no son conmutativos, los elementos de su línea proyectiva tienen coordenadas homogéneas escritas U ( a, b ) para indicar que el factor homogéneo se multiplica a la izquierda. La transformada de cuaternión es
Las homografías real y compleja descritas anteriormente son instancias de la homografía de cuaterniones donde θ es cero o π / 2, respectivamente. Evidentemente, la transformada toma u → 0 → –1 y toma - u → ∞ → 1.
Evaluar esta homografía en q = 1 mapea el versor u en su eje:
Pero
Por lo tanto
De esta forma, la transformada de Cayley se ha descrito como una parametrización racional de la rotación: Sea t = tan φ / 2 en la identidad del número complejo [3]
donde el lado derecho es la transformada de t i y el lado izquierdo representa la rotación del plano en radianes φ negativos.
Inverso
Dejar Desde
donde la equivalencia está en el grupo lineal proyectivo sobre cuaterniones, la inversa de f ( u , 1) es
Dado que las homografías son biyecciones ,mapea los cuaterniones vectoriales a las 3 esferas de versores. Como los versores representan rotaciones en el espacio tridimensional, la homografía f −1 produce rotaciones de la bola en ℝ 3 .
Mapa de matriz
Entre n × n matrices cuadradas sobre los reales , con I la matriz identidad, sea A cualquier matriz sesgada-simétrica (de modo que A T = - A ).
Entonces I + A es invertible y la transformada de Cayley
produce una matriz ortogonal , Q (de modo que Q T Q = I ). La multiplicación de matrices en la definición de Q anterior es conmutativa, por lo que Q se puede definir alternativamente como. De hecho, Q debe tener determinante +1, por lo que es ortogonal especial.
A la inversa, sea Q cualquier matriz ortogonal que no tenga -1 como valor propio ; luego
es una matriz simétrica sesgada.
La condición de Q excluye automáticamente las matrices con determinante -1, pero también excluye ciertas matrices ortogonales especiales.
También se ve una forma ligeramente diferente, [4] [5] que requiere diferentes asignaciones en cada dirección,
Las asignaciones también se pueden escribir con el orden de los factores invertidos; [6] [7] sin embargo, A siempre conmuta con (μ I ± A ) −1 , por lo que el reordenamiento no afecta la definición.
Ejemplos de
En el caso de 2 × 2, tenemos
La matriz de rotación de 180 °, - I , se excluye, aunque es el límite cuando tan θ ⁄ 2 llega al infinito.
En el caso de 3 × 3, tenemos
donde K = w 2 + x 2 + y 2 + z 2 , y donde w = 1. Esto lo reconocemos como la matriz de rotación correspondiente al cuaternión
(por una fórmula que Cayley había publicado el año anterior), excepto escalado de modo que w = 1 en lugar del escalado habitual de modo que w 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1. Por lo tanto, el vector ( x , y , z ) es el eje unitario de rotación escalado por tan θ ⁄ 2 . De nuevo se excluyen las rotaciones de 180 °, que en este caso son todas Q que son simétricas (de modo que Q T = Q ).
Otras matrices
Se puede extender el mapeo a matrices complejas sustituyendo " unitario " por "ortogonal" y " sesgado-hermitiano " por "sesgado-simétrico", con la diferencia de que la transpuesta (· T ) se reemplaza por la transpuesta conjugada (· H ) . Esto es coherente con la sustitución del producto interior real estándar por el producto interior complejo estándar. De hecho, se puede extender la definición aún más con opciones de adjunto que no sean transponer o conjugar transponer.
Formalmente, la definición solo requiere cierta invertibilidad, por lo que se puede sustituir Q por cualquier matriz M cuyos valores propios no incluyan -1. Por ejemplo,
Tenga en cuenta que A es simétrica oblicua (respectivamente, oblicua-hermitiana) si y solo si Q es ortogonal (respectivamente, unitario) sin valor propio -1.
Mapa del operador
Una versión de dimensión infinita de un espacio de producto interno es un espacio de Hilbert , y ya no se puede hablar de matrices . Sin embargo, las matrices son meras representaciones de operadores lineales y se pueden utilizar. Entonces, generalizando tanto el mapeo matricial como el mapeo plano complejo, se puede definir una transformada de operadores de Cayley.
Aquí, el dominio de U , dom U , es de ( A + i I ) dom A . Consulte el operador autoadjunto para obtener más detalles.
Ver también
- Transformada bilineal
- Extensiones de operadores simétricos
Referencias
- ^ Robert Everist Green y Steven G. Krantz (2006) Teoría de la función de una variable compleja , página 189, Estudios de posgrado en matemáticas # 40, Sociedad matemática estadounidense ISBN 9780821839621
- ^ Erwin Kreyszig (1983) Matemáticas de ingeniería avanzada , 5ta edición, página 611, Wiley ISBN 0471862517
- ^ Ver fórmula de medio ángulo de tangente
- ^ Golub, Gene H .; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3.a ed.), Johns Hopkins University Press , ISBN 978-0-8018-5414-9
- ^ F. Chong (1971) "Una nota geométrica sobre la transformación de Cayley", páginas 84,5 en A Spectrum of Mathematics: Ensayos presentados a HG Forder ,editor de John C. Butcher , Auckland University Press
- ^ Courant, Richard ; Hilbert, David (1989), Methods of Mathematical Physics , 1 (primera edición en inglés), Nueva York: Wiley-Interscience, págs. 536, 7, ISBN 978-0-471-50447-4 Capítulo VII, §7.2
- ^ Teoría de la matriz elemental de Howard Eves (1966), § 5.4A Construcción de matrices ortogonales reales de Cayley, páginas 365-7, Allyn & Bacon
- Sterling K. Berberian (1974) Conferencias sobre análisis funcional y teoría del operador , Textos de posgrado en matemáticas # 15, páginas 278, 281, Springer-Verlag ISBN 978-0-387-90081-0
- Cayley, Arthur (1846), "Sur quelques propriétés des déterminants gauches" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 32 : 119-123, doi : 10.1515 / crll.1846.32.119 , ISSN 0075-4102; reimpreso como artículo 52 (págs. 332–336) en Cayley, Arthur (1889), Los artículos matemáticos recopilados de Arthur Cayley , I (1841–1853), Cambridge University Press , págs. 332–336
- Lokenath Debnath & Piotr Mikusiński (1990) Introducción a los espacios de Hilbert con aplicaciones , página 213, Academic PressISBN 0-12-208435-7
- Gilbert Helmberg (1969) Introducción a la teoría espectral en el espacio de Hilbert , página 288, § 38: La transformada de Cayley, Matemáticas aplicadas y mecánica # 6, Holanda del Norte
- Henry Ricardo (2010) Una introducción moderna al álgebra lineal , página 504, CRC PressISBN 978-1-4398-0040-9 .
enlaces externos
- Parametrización de Cayley de matrices ortogonales en PlanetMath .
- Nikol'skii, NK (2001), "Cayley transform" , Encyclopaedia of Mathematics , Springer-Verlag , ISBN 978-1-4020-0609-8; traducido del ruso Vinogradov, IM , ed. (1977), Matematicheskaya Entsiklopediya , Moscú: Sovetskaya Entsiklopediya