Cuerpo de Sears – Haack

Cuerpo de Sears – Haack

El cuerpo de Sears-Haack es la forma con el menor arrastre de onda teórico en flujo supersónico, para una longitud y un volumen determinados del cuerpo. La derivación matemática asume un flujo supersónico de pequeña perturbación (linealizado), que se rige por la ecuación de Prandtl-Glauert . La derivación y la forma fueron publicadas de forma independiente por dos investigadores independientes: Wolfgang Haack en 1941 y más tarde por William Sears en 1947. ^[1]

La teoría indica que el arrastre de onda se escala como el cuadrado de la segunda derivada de la distribución del área (ver la expresión completa a continuación), por lo que para un arrastre de onda bajo es necesario que sea suave . Por lo tanto, el cuerpo de Sears-Haack apunta en cada extremo y crece suavemente hasta un máximo y luego disminuye suavemente hacia el segundo punto.${\displaystyle D_{\text{wave}}\sim [S''(x)]^{2}}$${\displaystyle S(x)}$

Fórmulas útiles

El área de la sección transversal de un cuerpo de Sears-Haack es

${\displaystyle S(x)={\frac {16V}{3L\pi }}[4x(1-x)]^{3/2}=\pi R_{\text{max}}^{2}[4x(1-x)]^{3/2},}$

su volumen es

${\displaystyle V={\frac {3\pi ^{2}}{16}}R_{\text{max}}^{2}L,}$

su radio es

${\displaystyle r(x)=R_{\text{max}}[4x(1-x)]^{3/4},}$

la derivada (pendiente) es

${\displaystyle r'(x)=3R_{\text{max}}[4x(1-x)]^{-1/4}(1-2x),}$

la segunda derivada es

${\displaystyle r''(x)=-3R_{\text{max}}\{[4x(1-x)]^{-5/4}(1-2x)^{2}+2[4x(1-x)]^{-1/4}\},}$

dónde:

• x es la relación entre la distancia desde la nariz y la longitud total del cuerpo (siempre está entre 0 y 1),
• r es el radio local,
• ${\displaystyle R_{\text{max}}}$ es el radio en su máximo (ocurre en el centro de la forma),
• V es el volumen,
• L es la longitud.

De la teoría del cuerpo delgado ^{[ se necesita más explicación ]} , se deduce que:

${\displaystyle D_{\text{wave}}=-{\frac {1}{4\pi }}\rho U^{2}\int _{0}^{\ell }\int _{0}^{\ell }S''(x_{1})S''(x_{2})\ln |x_{1}-x_{2}|\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2},}$

alternativamente:

${\displaystyle D_{\text{wave}}=-{\frac {1}{2\pi }}\rho U^{2}\int _{0}^{\ell }S''(x)\mathrm {d} x\int _{0}^{x}S''(x_{1})\ln(x-x_{1})\mathrm {d} x_{1}.}$

Estas fórmulas se pueden combinar para obtener lo siguiente:

${\displaystyle D_{\text{wave}}={\frac {64V^{2}}{\pi L^{4}}}\rho U^{2}={\frac {9\pi ^{3}R_{max}^{4}}{4L^{2}}}\rho U^{2},}$

${\displaystyle C_{D_{\text{wave}}}={\frac {24V}{L^{3}}}={\frac {9\pi ^{2}R_{max}^{2}}{2L^{2}}},}$

dónde:

• ${\displaystyle D_{\text{wave}}}$es el arrastre de las olas ,
• ${\displaystyle \rho }$ es la densidad del fluido,
• U es la velocidad.

Generalización de RT Jones

La derivación de la forma del cuerpo de Sears-Haack es correcta solo en el límite de un cuerpo delgado. La teoría ha sido generalizada a formas delgadas pero no simétricas por Robert T. Jones en el Informe NACA 1284. ^[2] En esta extensión, el área se define en el cono de Mach cuyo vértice está en la ubicación , en lugar de en el plano como se supone. por Sears y Haack. Por lo tanto, la teoría de Jones lo hace aplicable a formas más complejas como aviones supersónicos completos.${\displaystyle S(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x={\text{constant}}}$

Regla de área

Un concepto relacionado superficialmente es la regla del área de Whitcomb , que establece que el arrastre de las olas debido al volumen en el flujo transónico depende principalmente de la distribución del área de la sección transversal total, y para un arrastre de ondas bajo, esta distribución debe ser uniforme. Un error común es que el cuerpo de Sears-Haack tiene la distribución de área ideal de acuerdo con la regla del área, pero esto no es correcto. La ecuación de Prandtl-Glauert , que es el punto de partida en la derivación de la forma del cuerpo de Sears-Haack, no es válida en el flujo transónico, que es donde se aplica la regla del área .

Ver también

• Transformación de Prandtl-Glauert
• Aerodinámica
• Cuerpo antichoque
• Cono de nariz de la serie Haack
• Regla de área

Referencias

1. Palaniappan, Karthik (2004). Cuerpos con arrastre de presión mínima en flujo supersónico: investigación de efectos no lineales (PDF) . 22ª Conferencia y Exhibición de Aerodinámica Aplicada. Antony Jameson . Consultado el 16 de septiembre de 2010 .
2. Informe NACA 1284, Teoría de la resistencia del cuerpo del ala a velocidades supersónicas, por Robert T. Jones, 8 de julio de 1953

enlaces externos

• Haack Mínimo Arrastre Rifle Bullet Sitio abajo - https://web.archive.org/web/20160306044740/http://www.lima-wiederladetechnik.de/englisch/haack_minimum_drag_bullet.htm
• Geschoßformen kleinsten Wellenwiderstandes por W. Haack, Bericht 139 der Lilienthal-Gesellschaft (1941)
• Calculadora corporal de Sears-Haack