Función de elección

Una función de elección ( selector , selección ) es una función matemática f que se define en alguna colección X de conjuntos no vacíos y asigna algún elemento de cada conjunto S en esa colección a S por f ( S ); f ( S ) asigna S a algún elemento de S . En otras palabras, f es una función de elección para X si y solo si pertenece al producto directo de X.

Sea X = { {1,4,7}, {9}, {2,7} }. Entonces, la función que asigna 7 al conjunto {1,4,7}, 9 a {9} y 2 a {2,7} es una función de elección en X.

Ernst Zermelo (1904) introdujo las funciones de elección, así como el axioma de elección (AC) y demostró el teorema del buen orden , ^[1] que establece que todo conjunto puede estar bien ordenado . AC establece que todo conjunto de conjuntos no vacíos tiene una función de elección. Una forma más débil de AC, el axioma de elección contable (AC _ω ) establece que todo conjunto contable de conjuntos no vacíos tiene una función de elección. Sin embargo, en ausencia de AC o AC _ω , todavía se puede demostrar que algunos conjuntos tienen una función de elección.

Dados dos conjuntos X e Y , sea F un mapa multivaluado de X e Y (equivalentemente, es una función de X al conjunto potencia de Y ). $F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)$

Se dice que una función es una selección de F si: ${\ estilo de visualización f: X \ flecha derecha Y}$

La existencia de funciones de elección más regulares, a saber, selecciones continuas o medibles, es importante en la teoría de las inclusiones diferenciales , el control óptimo y la economía matemática . ^[2] Ver Teorema de selección .