Solución auto-similar

En el estudio de ecuaciones diferenciales parciales , particularmente en dinámica de fluidos , una solución auto-similar es una forma de solución que es similar a sí misma si las variables independientes y dependientes se escalan adecuadamente. Las soluciones auto-similares aparecen siempre que el problema carece de una longitud o escala de tiempo característica (por ejemplo, la capa límite de Blasius de una placa infinita, pero no de una placa de longitud finita). Estos incluyen, por ejemplo, la capa límite de Blasius o el caparazón Sedov-Taylor . ^{[1] [2]}

Concepto

Una poderosa herramienta en física es el concepto de análisis dimensional y leyes de escala. Al examinar los efectos físicos presentes en un sistema, podemos estimar su tamaño y, por lo tanto, que, por ejemplo, podrían pasarse por alto. En algunos casos, es posible que el sistema no tenga una duración o escala de tiempo natural fija, mientras que la solución depende del espacio o el tiempo. Entonces es necesario construir una escala usando el espacio o el tiempo y las otras cantidades dimensionales presentes, como la viscosidad . Estos constructos no se "adivinan" sino que se derivan inmediatamente de la escala de las ecuaciones que gobiernan.${\displaystyle \nu }$

Clasificación

La solución auto-similar normal también se conoce como una solución auto-similar del primer tipo , ya que existe otro tipo de auto-similar para problemas de tamaño finito, que no pueden derivarse del análisis dimensional , conocida como solución auto-similar. del segundo tipo .

Solución auto-similar del segundo tipo

La identificación temprana de soluciones auto-similares del segundo tipo puede encontrarse en problemas de implosión de ondas de choque, analizados por G. Guderley (1942) y Lev Landau y KP Stanyukovich (1944), ^[3] y la propagación de ondas de choque por un impulso corto, analizado por Carl Friedrich von Weizsäcker ^[4] y Yakov Borisovich Zel'dovich (1956), quienes también lo clasificaron como el segundo tipo por primera vez. ^[5] Grigory Barenblatt y Yakov Borisovich Zel'dovich hicieron una descripción completa en 1972 . ^[6]La solución auto-similar del segundo tipo también aparece en diferentes contextos, como en los problemas de la capa límite sujetos a pequeñas perturbaciones, ^[7] como fue identificado por Keith Stewartson , ^[8] Paul A. Libby y Herbert Fox. ^{[9] Los} remolinos de Moffatt son también una solución auto-similar del segundo tipo.

Ejemplo: problema de Rayleigh

Un ejemplo simple es un dominio semi-infinito delimitado por una pared rígida y lleno de fluido viscoso. ^[10] En el momento en que se hace que la pared se mueva con velocidad constante en una dirección fija (para precisión, digamos la dirección y considere solo el plano), se puede ver que no hay una escala de longitud distinguida dada en el problema. Esto se conoce como el problema de Rayleigh . Las condiciones de contorno de no deslizamiento son ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x-y}$

${\displaystyle u=U}$ en ${\displaystyle y=0}$

Además, la condición de que la placa no tenga ningún efecto sobre el fluido en el infinito se aplica como

${\displaystyle u\rightarrow 0}$como .${\displaystyle y\rightarrow \infty }$

Ahora, de las ecuaciones de Navier-Stokes

${\displaystyle \rho \left({\dfrac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+{\vec {u}}\cdot \nabla {\vec {u}}\right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}{\vec {u}}}$

se puede observar que este flujo será rectilíneo , con gradientes en la dirección y flujo en la dirección, y que el término de presión no tendrá componente tangencial por lo que . El componente de las ecuaciones de Navier-Stokes se convierte entonces en${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\dfrac {\partial p}{\partial y}}=0}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\dfrac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}=\nu \partial _{y}^{2}{\vec {u}}}$

y los argumentos de escala se pueden aplicar para mostrar que

${\displaystyle {\frac {U}{t}}\sim \nu {\frac {U}{y^{2}}}}$

que da la escala de la coordenada como${\displaystyle y}$

${\displaystyle y\sim (\nu t)^{1/2}}$.

Esto le permite a uno plantear un ansatz auto-similar tal que, con y adimensional,${\displaystyle f}$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle u=Uf\left(\eta \equiv {\dfrac {y}{(\nu t)^{1/2}}}\right)}$

Lo anterior contiene toda la física relevante y el siguiente paso es resolver las ecuaciones, que para muchos casos incluirán métodos numéricos. Esta ecuación es

${\displaystyle -\eta f'/2=f''}$

con solución que satisfaga las condiciones de contorno que

${\displaystyle f=1-\operatorname {erf} (\eta /2)}$ o ${\displaystyle u=U\left(1-\operatorname {erf} \left(-y/(4\nu t)^{1/2}\right)\right)}$

que es una solución auto-similar del primer tipo.

Referencias

1. Gratton, J. (1991). Similitud y auto-semejanza en dinámica de fluidos . Fundamentos de la Física Cósmica. 15 . Nueva York: Gordon y Breach. págs. 1-106. OCLC  35504041 .
2. Barenblatt, Grigory Isaakovich (1996). Escalado, autosemejanza y asintótica intermedia: análisis dimensional y asintótica intermedia . Vol. 14. Cambridge University Press. ISBN 0-521-43522-6.
3. Stanyukovich, KP (2016). Movimiento inestable de medios continuos. Elsevier. Página 521
4. Weizsäcker, CF (1954). Representación aproximada de fuertes ondas de choque inestables a través de soluciones de homología. Zeitschrift für Naturforschung A, 9 (4), 269-275.
5. Zeldovich, YB (1956). "El movimiento de un gas bajo la acción de un choque de presión a corto plazo". Akust. zh . 2 (1): 28–38.
6. Barenblatt, GI; Zel'dovich, YB (1972). "Soluciones auto-similares como asintóticas intermedias". Revisión anual de mecánica de fluidos . 4 (1): 285–312. doi : 10.1146 / annurev.fl.04.010172.001441 .
7. Coenen, W .; Rajamanickam, P .; Weiss, AD; Sánchez, AL; Williams, FA (2019). "Flujo turbulento inducido por chorros y penachos". Acta Mechanica . 230 (6): 2221–2231. doi : 10.1007 / s00707-019-02382-2 .
8. Stewartson, K. (1957). "Sobre expansiones asintóticas en la teoría de capas límite". Revista de Matemáticas y Física . 36 (1–4): 173–191. doi : 10.1002 / sapm1957361173 .
9. Libby, PA; Fox, H. (1963). "Algunas soluciones de perturbación en la teoría de la capa límite laminar". Revista de Mecánica de Fluidos . 17 (3): 433–449. doi : 10.1017 / S0022112063001439 .
10. Batchelor (2000) [1967]. Introducción a la dinámica de fluidos . pag. 189.