Grupo lineal general
En matemáticas , el grupo lineal general de grado n es el conjunto de n × n matrices invertibles , junto con la operación de multiplicación de matrices ordinaria . Esto forma un grupo , porque el producto de dos matrices invertibles es nuevamente invertible, y la inversa de una matriz invertible es invertible, con la matriz de identidad como el elemento de identidad del grupo. El grupo se llama así porque las columnas de una matriz invertible son linealmente independientes , por lo tanto, los vectores / puntos que definen están en una posición lineal general., y las matrices del grupo lineal general llevan puntos en posición lineal general a puntos en posición lineal general.
Para ser más precisos, es necesario especificar qué tipo de objetos pueden aparecer en las entradas de la matriz. Por ejemplo, el grupo lineal general sobre R (el conjunto de números reales ) es el grupo de n × n matrices invertibles de números reales, y se denota por GL n ( R ) o GL ( n , R ) .
De manera más general, el grupo lineal general de grado n sobre cualquier campo F (como los números complejos ), o un anillo R (como el anillo de números enteros ), es el conjunto de n × n matrices invertibles con entradas de F (o R ), nuevamente con la multiplicación de matrices como operación de grupo. [1] La notación típica es GL n ( F ) o GL ( n , F ) , o simplemente GL ( n ) si se entiende el campo.
Más generalmente aún, el grupo lineal general de un espacio vectorial GL ( V ) es el grupo de automorfismo abstracto , no necesariamente escrito como matrices.
El grupo lineal especial , escrito SL ( n , F ) o SL n ( F ), es el subgrupo de GL ( n , F ) que consta de matrices con un determinante de 1.
El grupo GL ( n , F ) y sus subgrupos a menudo se denominan grupos lineales o grupos de matriz (el grupo abstracto GL ( V ) es un grupo lineal pero no un grupo de matriz). Estos grupos son importantes en la teoría de las representaciones de grupos , y también surgen en el estudio de simetrías espaciales y simetrías de espacios vectoriales en general, así como en el estudio de polinomios . El grupo modular se puede realizar como un cociente del grupo lineal especial SL (2, Z ) .
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