Teorema de Wedderburn-Artin
En álgebra , el teorema de Wedderburn-Artin es un teorema de clasificación para anillos semisimple y álgebras semisimple . El teorema establece que un anillo semisimple R (Artiniano) [1] es isomorfo a un producto de un número finito de n i -por- n i anillos de matriz sobre anillos de división D i , para algunos números enteros n i , los cuales están determinados de manera única a la permutación del índice i . En particular, cualquier simple izquierda o derecha El anillo artiniano es isomorfo a un anillo de matriz de n por n sobre un anillo de división D , donde tanto n como D están determinados de forma única. [2]
Sea R un anillo semisimple . Entonces R es isomorfo a un producto de un número finito de n i-por - n i anillos de matriz sobre anillos de división D i , para algunos números enteros n i , los cuales están determinados de forma única hasta la permutación del índice i .
Si R es un álgebra k semisimple de dimensión finita , entonces cada D i en el enunciado anterior es un álgebra de división de dimensión finita sobre k . No es necesario que el centro de cada D i sea k ; podría ser una extensión finita de k .
Tenga en cuenta que si R es un álgebra simple de dimensión finita sobre un anillo de división E , D no tiene por qué estar contenido en E . Por ejemplo, los anillos de la matriz sobre los números complejos son álgebras simples de dimensión finita sobre los números reales .
El teorema de Wedderburn-Artin implica que todo anillo simple de dimensión finita sobre un anillo de división es isomorfo a un anillo de matriz de n por n sobre un anillo de división D , donde tanto n como D están determinados de forma única. [2] Este es el resultado original de Joseph Wedderburn . Emil Artin luego lo generalizó al caso de los anillos artinianos izquierdos o derechos . En particular, si es un campo algebraicamente cerrado, entonces el anillo de la matriz que tiene entradas es la única división de dimensión finita que se encuentra en el álgebra .
Sea k un campo algebraicamente cerrado. Sea R un anillo semisimple , es decir, un k- álgebra de dimensión finita . Entonces R es un producto finito donde son números enteros positivos y es el álgebra de matrices sobre k .
