Teorema de Wedderburn-Artin

En álgebra , el teorema de Wedderburn-Artin es un teorema de clasificación para anillos semisimples y álgebras semisimples . El teorema establece que un anillo R semisimple (artiniano) ^[1] es isomorfo a un producto de un número finito de anillos de matriz $n$ $i$ -por- $n$ $i$ sobre anillos de división $D$ $i$ , para algunos enteros $n$ $i$ , ambos determinados de forma única a la permutación del índice $i$ . En particular, cualquier izquierda o derecha simple El anillo artiniano es isomorfo a un anillo de matriz de n por n sobre un anillo de división D , donde tanto n como D están determinados de forma única. ^[2]

Sea $R un$ anillo semisimple (artiniano) . Entonces $R$ es isomorfo a un producto de un número finito de $anillos$ de matriz ni-por-ni sobre anillos de $división$ $Di$ , para $algunos$ $enteros$ ni $,$ $ambos$ determinados de forma única hasta la permutación del índice $i$ $.$ $M_{n_{i}}(D_{i})$

Si $R es un$ $k$ -álgebra semisimple de dimensión finita , entonces cada $Di en$ el enunciado anterior es un álgebra de división de dimensión finita sobre $k$ . El centro de cada $D i$ no necesita ser $k$ ; podría ser una extensión finita de $k$ .

Tenga en cuenta que si $R$ es un álgebra simple de dimensión finita sobre un anillo de división E , D no necesita estar contenido en E . Por ejemplo, los anillos de matriz sobre los números complejos son álgebras simples de dimensión finita sobre los números reales .

El teorema de Wedderburn-Artin implica que cada anillo simple que es de dimensión finita sobre un anillo de división es isomorfo a un anillo de matriz de n por n sobre un anillo de división D , donde tanto n como D están determinados de manera única. ^[2] Este es el resultado original de Joseph Wedderburn . Emil Artin luego lo generalizó al caso de anillos artinianos izquierdos o derechos . En particular, si es un campo algebraicamente cerrado, entonces el anillo de matriz que tiene entradas de es la única álgebra simple artiniana de dimensión finita sobre . ${\ estilo de visualización k}$ ${\ estilo de visualización k}$ ${\ estilo de visualización k}$

Sea $k$ un campo algebraicamente cerrado. Sea $R$ un anillo semisimple , es decir, un $k$ -álgebra de dimensión finita . Entonces $R$ es un producto finito donde son enteros positivos y es el álgebra de matrices sobre $k$ . $\textstyle \prod _{i=1}^{r}M_{n_{i}}(k)$ ${\ estilo de visualización n_ {i}}$ $M_{n_{i}}(k)$ $n_{i}\times n_{i}$