En álgebra , el teorema de Artin-Wedderburn es un teorema de clasificación para anillos semisimple y álgebras semisimple . El teorema establece que un anillo semisimple R (Artiniano) [1] es isomorfo a un producto de un número finito de n i -por- n i anillos de matriz sobre anillos de división D i , para algunos enteros n i , los cuales están determinados de forma única a la permutación del índice i . En particular, cualquier simple izquierda o derecha El anillo artiniano es isomorfo a un anillo de matriz de n por n sobre un anillo de división D , donde tanto n como D están determinados de forma única. [2]
Teorema
Sea R un anillo semisimple . Entonces R es isomorfo a un producto de un número finito de n i -por- n i anillos de matriz sobre anillos de división D i , para algunos números enteros n i , los cuales están determinados de forma única hasta la permutación del índice i .
Si R es un álgebra - k semisimple de dimensión finita , entonces cada D i en el enunciado anterior es un álgebra de división de dimensión finita sobre k . No es necesario que el centro de cada D i sea k ; podría ser una extensión finita de k .
Tenga en cuenta que si R es un álgebra simple de dimensión finita sobre un anillo de división E , D no tiene por qué estar contenido en E . Por ejemplo, los anillos de la matriz sobre los números complejos son álgebras simples de dimensión finita sobre los números reales .
Corolario 1
El teorema de Artin-Wedderburn implica que todo anillo simple de dimensión finita sobre un anillo de división es isomorfo a un anillo de matriz de n por n sobre un anillo de división D , donde tanto n como D están determinados de forma única. [2] Este es el resultado original de Joseph Wedderburn . Emil Artin luego lo generalizó al caso de los anillos artinianos izquierdos o derechos . En particular, si es un campo algebraicamente cerrado, entonces el anillo de la matriz tiene entradas de es el único álgebra de división dimensional finita sobre .
Corolario 2
Sea k un campo algebraicamente cerrado. Sea R un anillo semisimple que es un k- álgebra de dimensión finita . Entonces R es un producto finito donde el son números enteros positivos, y es el álgebra de matrices sobre k .
Consecuencia
El Artin-Wedderburn teorema reduce el problema de la clasificación de dimensión finita álgebra simple central sobre un campo K al problema de la clasificación de álgebras de división central de dimensión finita sobre K .
Ver también
Referencias
- ^ Los anillos semisimple son necesariamente anillos artinianos . Algunos autores usan "semisimple" para significar que el anillo tiene un radical de Jacobson trivial. Para los anillos artinianos, las dos nociones son equivalentes, por lo que aquí se incluye "Artiniano" para eliminar esa ambigüedad.
- ↑ a b John A. Beachy (1999). Conferencias introductorias sobre anillos y módulos . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 156 . ISBN 978-0-521-64407-5.
- PM Cohn (2003) Álgebra básica: grupos, anillos y campos , páginas 137–9.
- JHM Wedderburn (1908). "Sobre números hipercomplejos" . Actas de la London Mathematical Society . 6 : 77-118. doi : 10.1112 / plms / s2-6.1.77 .
- Artin, E. (1927). "Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen". 5 : 251-260. Cite journal requiere
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