En álgebra, específicamente en la teoría de anillos conmutativos , la desigualdad de Serre en los estados de altura : dado un anillo regular (noetheriano) A y un par de ideales primos en ella, por cada ideal primo que es un ideal primo mínimo sobre la suma, se cumple la siguiente desigualdad en alturas : [1] [2]
Sin el supuesto de regularidad, la desigualdad puede fallar; ver intersección de la teoría del esquema # Intersección adecuada .
Boceto de prueba
( Serre , Capítulo V, § B. 6.) da la siguiente prueba de la desigualdad, basada en la validez de las conjeturas de multiplicidad de Serre para un anillo formal de series de potencias sobre un anillo de valoración discreto completo .
Por reemplazo por la localización en , asumimos es un anillo local. Entonces la desigualdad es equivalente a la siguiente desigualdad: para finito-módulos tal que tiene una longitud finita,
dónde = la dimensión del soporte de y similar para . Para mostrar la desigualdad anterior, podemos suponerEsta completo. Entonces, por el teorema de la estructura de Cohen , podemos escribir dónde es un anillo formal de serie de potencia sobre un anillo de valoración discreto completo y es un elemento distinto de cero en . Ahora, un argumento con la secuencia espectral Tor muestra que. Entonces, una de las conjeturas de Serre dice, que a su vez da la desigualdad afirmada.
Referencias
- William Fulton. (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., 2 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
- P. Serre, álgebra local , monografías de Springer en matemáticas