En matemáticas , una serie de potencias formales es una generalización de un polinomio , donde se permite que el número de términos sea infinito, sin requisitos de convergencia. Por lo tanto, la serie ya no puede representar una función de su variable, simplemente una secuencia formal de coeficientes, en contraste con una serie de potencias , que define una función tomando valores numéricos para la variable dentro de un radio de convergencia. En una serie de potencias formales, las potencias de la variable se utilizan solo como tenedores de posición para los coeficientes, de modo que el coeficiente dees el quinto término de la secuencia. En combinatoria , el método de generación de funciones utiliza series de potencias formales para representar secuencias numéricas y conjuntos múltiples , por ejemplo, permitiendo expresiones concisas para secuencias definidas de forma recursiva independientemente de si la recursividad se puede resolver explícitamente. De manera más general, las series de potencias formales pueden incluir series con cualquier número finito (o contable) de variables y con coeficientes en un anillo arbitrario .
En geometría algebraica y álgebra conmutativa , los anillos de series formales de potencia son anillos locales topológicamente completos especialmente tratables , lo que permite argumentos similares al cálculo dentro de un marco puramente algebraico. Son análogos en muchos aspectos a los números p-ádicos . Se pueden crear series de potencias formales a partir de polinomios de Taylor utilizando módulos formales .
Introducción
Una serie de potencias formales se puede considerar vagamente como un objeto que es como un polinomio , pero con infinitos términos. Alternativamente, para aquellos familiarizados con las series de potencias (o series de Taylor ), uno puede pensar en una serie de potencias formal como una serie de potencias en la que ignoramos cuestiones de convergencia al no asumir que la variable X denota ningún valor numérico (ni siquiera un valor desconocido ). Por ejemplo, considere la serie
Si estudiamos esto como una serie de potencias, sus propiedades incluirían, por ejemplo, que su radio de convergencia es 1. Sin embargo, como serie de potencias formal, podemos ignorar esto por completo; todo lo que es relevante es la secuencia de coeficientes [1, −3, 5, −7, 9, −11, ...]. En otras palabras, una serie de potencias formales es un objeto que simplemente registra una secuencia de coeficientes. Es perfectamente aceptable considerar una serie de potencias formales con los factoriales [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ...] como coeficientes, aunque la serie de potencias correspondiente diverja para cualquier valor distinto de cero de X .
La aritmética en series formales de potencias se lleva a cabo simplemente pretendiendo que las series son polinomios. Por ejemplo, si
luego agregamos A y B término por término:
Podemos multiplicar series de potencias formales, nuevamente tratándolas como polinomios (ver en particular el producto de Cauchy ):
Tenga en cuenta que cada coeficiente en el producto AB solamente depende de un finito número de coeficientes de A y B . Por ejemplo, el término X 5 viene dado por
Por esta razón, uno puede multiplicar series de potencias formales sin preocuparse por las cuestiones habituales de convergencia absoluta , condicional y uniforme que surgen al tratar con series de potencias en el marco del análisis .
Una vez que hemos definido la multiplicación para series de potencias formales, podemos definir los inversos multiplicativos de la siguiente manera. El inverso multiplicativo de una serie de potencias formales A es una serie de potencias formales C tal que AC = 1, siempre que exista tal serie de potencias formales. Resulta que si A tiene un inverso multiplicativo, es único y lo denotamos por A −1 . Ahora podemos definir la división de series de potencias formales definiendo B / A como el producto BA −1 , siempre que exista la inversa de A. Por ejemplo, se puede usar la definición de multiplicación anterior para verificar la fórmula familiar
Una operación importante en series de potencias formales es la extracción de coeficientes. En su forma más básica, el operador de extracción de coeficientes aplicado a una serie de potencias formales en una variable extrae el coeficiente de la la potencia de la variable, de modo que y . Otros ejemplos incluyen
De manera similar, muchas otras operaciones que se llevan a cabo en polinomios pueden extenderse a la configuración formal de series de potencias, como se explica a continuación.
El anillo de la serie formal de poder
Si se considera el conjunto de todas las series formales de potencia en X con coeficientes en un anillo conmutativo R , los elementos de este conjunto constituyen colectivamente otro anillo que se escribey llamado el anillo de series formales en la variable X sobre R .
Definición del anillo formal de la serie de potencias
Uno puede caracterizar abstractamente como la terminación del anillo polinomialequipado con una métrica particular . Esto da automáticamentela estructura de un anillo topológico (e incluso de un espacio métrico completo). Pero la construcción general de una terminación de un espacio métrico es más complicada de lo que se necesita aquí, y haría que las series de potencias formales parezcan más complicadas de lo que son. Es posible describir más explícitamente, y defina la estructura del anillo y la estructura topológica por separado, como sigue.
Estructura de anillo
Como conjunto, se puede construir como el conjunto de todas las secuencias infinitas de elementos de , indexado por los números naturales (tomado para incluir 0). Designación de una secuencia cuyo término en el índice es por , se define la suma de dos de tales secuencias por
y multiplicación por
Este tipo de producto se denomina producto de Cauchy de las dos secuencias de coeficientes y es una especie de convolución discreta . Con estas operaciones, se convierte en un anillo conmutativo con elemento cero e identidad multiplicativa .
De hecho, el producto es el mismo que se usa para definir el producto de polinomios en uno indeterminado, lo que sugiere usar una notación similar. Uno incrusta dentro enviando cualquier (constante) a la secuencia y designa la secuencia por ; luego, usando las definiciones anteriores, cada secuencia con solo un número finito de términos distintos de cero puede expresarse en términos de estos elementos especiales como
estos son precisamente los polinomios en . Dado esto, es bastante natural y conveniente designar una secuencia general por la expresión formal , aunque esta última no es una expresión formada por las operaciones de suma y multiplicación definidas anteriormente (a partir de las cuales solo se pueden construir sumas finitas). Esta convención de notación permite reformular las definiciones anteriores como
y
lo cual es bastante conveniente, pero uno debe ser consciente de la distinción entre suma formal (una mera convención) y adición real.
Estructura topológica
Habiendo estipulado convencionalmente que
( 1 )
uno quisiera interpretar el lado derecho como una suma infinita bien definida. Con ese fin, una noción de convergencia enestá definida y una topología enesta construido. Hay varias formas equivalentes de definir la topología deseada.
- Podemos dar la topología del producto , donde cada copia dese le da la topología discreta .
- Podemos dar la topología I-ádica , donde es el ideal generado por , que consta de todas las secuencias cuyo primer término es cero.
- La topología deseada también podría derivarse de la siguiente métrica . La distancia entre secuencias distintas se define para ser
- dónde es el número natural más pequeño tal que ; la distancia entre dos secuencias iguales es, por supuesto, cero.
De manera informal, dos secuencias y llegar a estar más y más cerca si y sólo si más y más de sus términos concuerdan exactamente. Formalmente, la secuencia de sumas parciales de alguna suma infinita converge si para cada potencia fija deel coeficiente se estabiliza: hay un punto más allá del cual todas las sumas parciales adicionales tienen el mismo coeficiente. Este es claramente el caso del lado derecho de ( 1 ), independientemente de los valores, desde la inclusión del término para da el último (y de hecho único) cambio al coeficiente de . También es obvio que el límite de la secuencia de sumas parciales es igual al lado izquierdo.
Esta estructura topológica, junto con las operaciones de anillo descritas anteriormente, forman un anillo topológico. Esto se llama el anillo de la serie de poder formal sobre y se denota por . La topología tiene la propiedad útil de que una suma infinita converge si y solo si la secuencia de sus términos converge a 0, lo que simplemente significa que cualquier potencia fija de ocurre sólo en un número finito de términos.
La estructura topológica permite un uso mucho más flexible de sumas infinitas. Por ejemplo, la regla para la multiplicación puede reformularse simplemente como
dado que sólo un número finito de términos de la derecha afectan a cualquier . Los productos infinitos también se definen por la estructura topológica; se puede ver que un producto infinito converge si y solo si la secuencia de sus factores converge a 1.
Topologías alternativas
La topología anterior es la mejor topología para la que
siempre converge como una suma a la serie de potencias formales designada por la misma expresión, ya menudo basta para dar un significado a sumas y productos infinitos, u otros tipos de límites que se quieran utilizar para designar series de potencias formales particulares. Sin embargo, ocasionalmente puede suceder que uno desee utilizar una topología más burda, de modo que ciertas expresiones se vuelvan convergentes que de otro modo divergirían. Esto se aplica en particular cuando el anillo de base ya viene con una topología distinta a la discreta, por ejemplo si también se trata de un anillo de series de potencias formales.
En el anillo de la serie formal de poder , la topología de la construcción anterior solo se relaciona con el indeterminado , ya que la topología que se puso en ha sido reemplazada por la topología discreta al definir la topología de todo el anillo. Entonces
converge (y su suma se puede escribir como ); sin emabargo
se consideraría divergente, ya que cada término afecta el coeficiente de . Esta asimetría desaparece si la serie de potencia suena en se le da la topología del producto donde cada copia de se le da su topología como un anillo de series de potencias formales en lugar de la topología discreta. Con esta topología, una secuencia de elementos de converge si el coeficiente de cada potencia de converge a una serie de potencias formales en , una condición más débil que estabilizarse por completo. Por ejemplo, con esta topología, en el segundo ejemplo dado arriba, el coeficiente deconverge a , por lo que toda la suma converge a .
Esta forma de definir la topología es de hecho la estándar para construcciones repetidas de anillos de series formales de potencias, y proporciona la misma topología que se obtendría tomando series formales de potencias en todos los indeterminados a la vez. En el ejemplo anterior, eso significaría construir y aquí una secuencia converge si y solo si el coeficiente de cada monomio estabiliza. Esta topología, que también es la-topología ádica, donde es el ideal generado por y , todavía disfruta de la propiedad de que una suma converge si y solo si sus términos tienden a 0.
El mismo principio podría usarse para hacer converger otros límites divergentes. Por ejemplo en el límite
no existe, por lo que en particular no converge a
Esto es porque para el coeficiente de no se estabiliza como . Sin embargo, converge en la topología habitual de, y de hecho al coeficiente de . Por tanto, si uno quisiera la topología del producto de donde la topología de es la topología habitual en lugar de la discreta, entonces el límite anterior convergería a . Sin embargo, este enfoque más permisivo no es el estándar cuando se consideran series de poder formales, ya que conduciría a consideraciones de convergencia que son tan sutiles como lo son en el análisis , mientras que la filosofía de las series de poder formales, por el contrario, hace que las preguntas de convergencia sean tan triviales como lo son en el análisis . posiblemente pueden serlo. Con esta topología no sería el caso de que una suma converja si y solo si sus términos tienden a 0.
Propiedad universal
El anillo puede caracterizarse por la siguiente propiedad universal . Si es un álgebra asociativa conmutativa sobre , Si es un ideal de tal que el -topología ádica en está completo, y si es un elemento de , entonces hay un único con las siguientes propiedades:
- es un -Homomorfismo de álgebra
- es continuo
- .
Operaciones sobre series formales de potencias
Se pueden realizar operaciones algebraicas en series de potencias para generar nuevas series de potencias. [1] [2] Además de las operaciones de estructura de anillo definidas anteriormente, tenemos lo siguiente.
Power series elevadas a poderes
Para cualquier número natural n tenemos
dónde
(Esta fórmula sólo puede usarse si m y un 0 son invertible en el anillo de coeficientes.)
En el caso de series de potencias formales con coeficientes complejos, las potencias complejas están bien definidas al menos para la serie f con término constante igual a 1. En este caso,se puede definir por composición con la serie binomial (1+ x ) α , o por composición con la serie exponencial y logarítmica, o como la solución de la ecuación diferencial con término constante 1, las tres definiciones son equivalentes. Las reglas del cálculo y seguir fácilmente.
Multiplicación inversa
Las series
es invertible en si y solo si su coeficiente constante es invertible en . Esta condición es necesaria, por la siguiente razón: si suponemos que tiene una inversa entonces el término constante de es el término constante de la serie identidad, es decir, es 1. Esta condición también es suficiente; podemos calcular los coeficientes de la serie inversa a través de la fórmula recursiva explícita
Un caso especial importante es que la fórmula de la serie geométrica es válida en:
Si es un campo, entonces una serie es invertible si y solo si el término constante es distinto de cero, es decir, si y solo si la serie no es divisible por . Esto significa quees un anillo de valoración discreto con parámetro de uniformización.
División
El cálculo de un cociente
asumiendo que el denominador es invertible (es decir, es invertible en el anillo de escalares), se puede realizar como un producto y la inversa de , o igualar directamente los coeficientes en :
Extraer coeficientes
El operador de extracción de coeficientes aplicado a una serie de potencias formales
en X está escrito
y extrae el coeficiente de X m , de modo que
Composición
Dada la serie de poder formal
uno puede formar la composición
donde los coeficientes c n se determinan "expandiendo" las potencias de f ( X ):
Aquí la suma se extiende sobre todo ( k , j ) con y con
La fórmula de Faà di Bruno proporciona una descripción más explícita de estos coeficientes , al menos en el caso en que el anillo de coeficientes es un campo de característica 0 .
La composición solo es válida cuando no tiene un término constante , por lo que cada depende sólo de un número finito de coeficientes de y . En otras palabras, la serie deconverge en la topología de.
Ejemplo
Suponga que el anillo tiene la característica 0 y los enteros distintos de cero son invertibles en . Si denotamos por la serie de poder formal
luego la expresión
tiene perfecto sentido como una serie de poder formal. Sin embargo, la declaración
no es una aplicación válida de la operación de composición para series de potencias formales. Más bien, confunde las nociones de convergencia en y convergencia en ; de hecho, el anillo puede que ni siquiera contenga ningún número con las propiedades adecuadas.
Composición inversa
Siempre que una serie formal
tiene f 0 = 0 y f 1 es un elemento invertible de R , existe una serie
esa es la composición inversa de, lo que significa que componiendo con da la serie que representa la función de identidad . Los coeficientes dese puede encontrar de forma recursiva utilizando la fórmula anterior para los coeficientes de una composición, equiparándolos con los de la identidad de composición X (es decir, 1 en el grado 1 y 0 en cada grado mayor que 1). En el caso de que el anillo de coeficientes sea un campo de característica 0, la fórmula de inversión de Lagrange (que se analiza a continuación) proporciona una herramienta poderosa para calcular los coeficientes de g , así como los coeficientes de las potencias (multiplicativas) de g .
Diferenciación formal
Dada una serie de poder formal
definimos su derivado formales , denotado Df o f ', por
El símbolo D se denomina operador de diferenciación formal . Esta definición simplemente imita la diferenciación término por término de un polinomio.
Esta operación es R - lineal :
para cualquier a , b en R y cualquier f , g enAdemás, la derivada formal tiene muchas de las propiedades de la derivada habitual del cálculo. Por ejemplo, la regla del producto es válida:
y la regla de la cadena también funciona:
siempre que se definan las composiciones apropiadas de las series (ver arriba bajo la composición de las series ).
Por tanto, en estos aspectos, las series de potencias formales se comportan como las series de Taylor . De hecho, para la f definida anteriormente, encontramos que
donde D k denota la k- ésima derivada formal (es decir, el resultado de diferenciar formalmente k veces).
Antidiferenciación formal
Si es un anillo con característica cero y los enteros distintos de cero son invertibles en , luego dada una serie de poder formal
definimos su antiderivada formal o integral indefinida formal por
para cualquier constante .
Esta operación es R - lineal :
para cualquier a , b en R y cualquier f , g enAdemás, la antiderivada formal tiene muchas de las propiedades de la antiderivada habitual del cálculo. Por ejemplo, la antiderivada formal es la inversa correcta de la derivada formal:
para cualquier .
Propiedades
Propiedades algebraicas del anillo formal de la serie de potencias
es un álgebra asociativa sobre que contiene el anillo de polinomios sobre ; los polinomios corresponden a las secuencias que terminan en ceros.
El radical Jacobson dees el ideal generado por y el radical Jacobson de ; esto está implícito en el criterio de invertibilidad del elemento discutido anteriormente.
Los ideales máximos de todos surgen de aquellos en de la siguiente manera: un ideal de es máxima si y solo si es un ideal máximo de y se genera como un ideal por y .
Varias propiedades algebraicas de son heredados por :
- Si es un anillo local , entonces también lo es(con el conjunto de no unidades el ideal máximo único),
- Si es Noetherian , entonces también lo es(una versión del teorema de la base de Hilbert ),
- Si es un dominio integral , entonces también lo es, y
- Si es un campo , entonceses un anillo de valoración discreto .
Propiedades topológicas del anillo formal de la serie de potencias
El espacio métrico está completo .
El anillo es compacto si y solo si R es finito . Esto se sigue del teorema de Tychonoff y la caracterización de la topología en como topología de producto.
Preparación de Weierstrass
El anillo de series de potencias formales con coeficientes en un anillo local completo satisface el teorema de preparación de Weierstrass .
Aplicaciones
Las series de potencias formales se pueden utilizar para resolver las recurrencias que ocurren en la teoría de números y la combinatoria. Para ver un ejemplo que implica encontrar una expresión de forma cerrada para los números de Fibonacci , consulte el artículo sobre Ejemplos de funciones generadoras .
Se pueden usar series de potencias formales para probar varias relaciones familiares del análisis en un entorno puramente algebraico. Considere, por ejemplo, los siguientes elementos de:
Entonces uno puede demostrar que
El último siendo válido en el ring.
Para K un campo, el anillose utiliza a menudo como el anillo local completo "estándar, más general" sobre K en álgebra.
Interpretación de series formales de potencias como funciones
En el análisis matemático , cada serie de potencia convergente define una función con valores en números reales o complejos . Las series de poder formales sobre ciertos anillos especiales también se pueden interpretar como funciones, pero hay que tener cuidado con el dominio y el codominio . Dejar
y supongamos S es un álgebra asociativa conmutativa sobre R , I es un ideal en S tal que la topología-I adic en S se ha completado, y x es un elemento de I . Definir:
Se garantiza que esta serie convergerá en S dados los supuestos anteriores sobre x . Además, tenemos
y
A diferencia del caso de las funciones de buena fe, estas fórmulas no son definiciones, sino que deben probarse.
Dado que la topología en es la topología ( X ) -adic yestá completo, podemos en particular aplicar series de potencias a otras series de potencias, siempre que los argumentos no tengan coeficientes constantes (de modo que pertenezcan al ideal ( X )): f (0), f ( X 2 - X ) y f ((1- X ) -1 - 1) están todos bien definida para cualquier serie poder formal
Con este formalismo, podemos dar una fórmula explícita para el inverso multiplicativo de una serie de potencias f cuyo coeficiente constante a = f (0) es invertible en R :
Si la serie de potencias formales g con g (0) = 0 viene implícitamente dada por la ecuación
donde f es una serie de potencias conocida con f (0) = 0, entonces los coeficientes de g pueden calcularse explícitamente usando la fórmula de inversión de Lagrange .
Generalizaciones
Serie Laurent formal
La serie formal de Laurent sobre un anillose definen de manera similar a una serie de potencias formales, excepto que también permitimos un número finito de términos de grado negativo. Es decir, son las series que se pueden escribir como
para algún número entero N , de modo que solo hay un número finito de n negativos con. (Esto es diferente de la clásica serie Laurent de análisis complejo ). Para una serie Laurent formal distinta de cero, el número entero mínimo tal que se llama el orden de y se denota (El orden de la serie cero es .)
Se puede definir la multiplicación de tales series. De hecho, de manera similar a la definición de serie de potencias formales, el coeficiente de X k de dos series con respectivas secuencias de coeficientes y es
La serie Laurent formal forma el anillo de la serie Laurent formal sobre, denotado por . [a] Es igual a la localización de con respecto al conjunto de potencias positivas de . Sies un campo , entonceses de hecho un campo, que alternativamente puede obtenerse como el campo de fracciones del dominio integral .
Como con el anillo de la serie formal de poder, el anillo de la serie Laurent formal puede ser dotado con la estructura de un anillo topológico mediante la introducción de la métrica
Se puede definir la diferenciación formal para las series formales de Laurent de forma natural (término por término). Precisamente, el derivado formal de la serie formal Laurent arriba es
Residuo formal
Asumir que es un campo de característica 0. Entonces el mapa
es un - derivación que satisface
Este último muestra que el coeficiente de en es de particular interés; se llama residuo formal de y denotado . El mapa
es -lineal, y por la observación anterior uno tiene una secuencia exacta
Algunas reglas de cálculo . Como consecuencia bastante directa de la definición anterior, y de las reglas de derivación formal, uno tiene, para cualquier
- I.
- ii.
- iii.
- iv. Si
- v.
La propiedad (i) es parte de la secuencia exacta anterior. La propiedad (ii) se sigue de (i) aplicada a. Propiedad (iii): cualquiera se puede escribir en la forma , con y : luego implica es invertible en De dónde Propiedad (iv): Desde podemos escribir con . Como consecuencia,y (iv) se sigue de (i) y (iii). La propiedad (v) se desprende claramente de la definición.
La fórmula de inversión de Lagrange
Como se mencionó anteriormente, cualquier serie formal con f 0 = 0 y f 1 ≠ 0 tiene una composición inversaLa siguiente relación entre los coeficientes de g n y f - k se cumple ("Fórmula de inversión de Lagrange "):
En particular, para n = 1 y todo k ≥ 1,
Dado que la prueba de la fórmula de inversión de Lagrange es un cálculo muy corto, vale la pena informarlo aquí. Observando, podemos aplicar las reglas de cálculo anteriores, fundamentalmente la Regla (iv) sustituyendo , Llegar:
Generalizaciones. Se puede observar que el cálculo anterior puede repetirse claramente en entornos más generales que K (( X )): una generalización de la fórmula de inversión de Lagrange ya está disponible trabajando en el-módulos donde α es un exponente complejo. Como consecuencia, si f y g son como anteriormente, con, Podemos relacionar los complejos poderes de f / X y g / X : precisamente, si α y β son números no cero complejas con suma entero negativo, luego
Por ejemplo, de esta manera se encuentra la serie de potencias para potencias complejas de la función de Lambert .
Serie de potencias en varias variables
Se pueden definir series formales de poder en cualquier número de indeterminados (incluso infinitos). Si I es un conjunto de índices y X I es el conjunto de indeterminados X i para i ∈ I , entonces un monomio X α es cualquier producto finito de elementos de X I (se permiten repeticiones); una serie de potencias formales en X I con coeficientes en un anillo R se determina mediante cualquier mapeo del conjunto de monomios X α a un coeficiente correspondiente c α , y se denota. El conjunto de todas estas series formales de potencia se denota y se le da una estructura de anillo definiendo
y
Topología
La topología en es tal que una secuencia de sus elementos converge sólo si para cada monomio X α se estabiliza el coeficiente correspondiente. Si I es finito, entonces esta es la topología J -ádica, donde J es el ideal degenerada por todas las indeterminadas en X I . Esto no se sostiene si yo es infinito. Por ejemplo, si luego la secuencia con no converge con respecto a ninguna topología J -ádica en R , pero claramente para cada monomio el coeficiente correspondiente se estabiliza.
Como se señaló anteriormente, la topología en una serie de potencia formal repetida suena como generalmente se elige de tal manera que se vuelve isomorfo como un anillo topológico para
Operaciones
Todas las operaciones definidas para series en una variable pueden extenderse al caso de varias variables.
- Una serie es invertible si y sólo si su término constante es invertible en R .
- La composición f ( g ( X )) de dos series f y g se define si f es una serie en un solo indeterminado, y el término constante de g es cero. Para una serie f en varios indeterminados se puede definir de manera similar una forma de "composición", con tantas series separadas en lugar de g como indeterminados haya.
En el caso de la derivada formal, ahora hay operadores de derivada parcial separados , que diferencian con respecto a cada uno de los indeterminados. Todos viajan entre ellos.
Propiedad universal
En el caso de varias variables, la propiedad universal que caracteriza se convierte en lo siguiente. Si S es un álgebra asociativa conmutativa sobre R , si I es un ideal de S tal que la topología I -ádica en S es completa, y si x 1 , ..., x r son elementos de I , entonces hay una única mapa con las siguientes propiedades:
- Φ es un homomorfismo de R -álgebra
- Φ es continuo
- Φ ( X i ) = x i para i = 1, ..., r .
Variables que no viajan diariamente
El caso de varias variables se puede generalizar aún más tomando las variables no conmutadas X i para i ∈ I , donde I es un conjunto de índices y luego un monomio X α es cualquier palabra en X I ; una serie de potencias formales en X I con coeficientes en un anillo R se determina mediante cualquier mapeo del conjunto de monomios X α a un coeficiente correspondiente c α , y se denota. El conjunto de todas estas series formales de potencia se denota R « X I », y se le da una estructura de anillo definiendo la suma puntual
y multiplicación por
donde · denota concatenación de palabras. Estas series formales más de R forman el anillo de Magnus sobre R . [3] [4]
En un semiring
Dado un alfabeto y un semiring . La serie de poder formal ha terminado apoyado en el idioma se denota por . Consta de todas las asignaciones, dónde es el monoide libre generado por el conjunto no vacío.
Los elementos de se puede escribir como sumas formales
dónde denota el valor de en la palabra . Los elementos se llaman los coeficientes de .
Para el apoyo de es el set
Una serie donde cada coeficiente es o se llama la serie característica de su soporte.
El subconjunto de que consta de todas las series con un soporte finito se denota por y llamados polinomios.
Para y , la suma es definido por
El producto (Cauchy) es definido por
El producto Hadamard es definido por
Y los productos por un escalar y por
- y , respectivamente.
Con estas operaciones y son semirrings, donde es la palabra vacía en .
Estas series formales de potencia se utilizan para modelar el comportamiento de los autómatas ponderados , en informática teórica , cuando los coeficientes de la serie se toman como el peso de una ruta con etiqueta en los autómatas. [5]
Reemplazo del índice establecido por un grupo abeliano ordenado
Suponer es un grupo abeliano ordenado, es decir, un grupo abeliano con un orden total respetando la incorporación del grupo, de modo que si y solo si para todos . Let Me ser un bien ordenada subconjunto de, lo que significa que no contiene una cadena descendente infinita. Considere el conjunto que consta de
por todo lo que yo , con en un anillo conmutativo , donde asumimos que para cualquier conjunto de índices, si todos los son cero, entonces la suma es cero. Luego es el anillo de la serie formal de poder en ; Debido a la condición de que el conjunto de indexación esté bien ordenado, el producto está bien definido y, por supuesto, asumimos que dos elementos que difieren en cero son iguales. A veces la notación se usa para denotar . [6]
Varias propiedades de transferir a . Si es un campo, entonces también lo es . Si es un campo ordenado, podemos ordenar configurando cualquier elemento para que tenga el mismo signo que su coeficiente principal, definido como el elemento mínimo del conjunto de índices I asociado a un coeficiente distinto de cero. Finalmente sies un grupo divisible yes un campo realmente cerrado , entonces es un campo realmente cerrado, y si está algebraicamente cerrado , entonces también lo es.
Esta teoría se debe a Hans Hahn , quien también demostró que se obtienen subcampos cuando el número de términos (distintos de cero) está limitado por alguna cardinalidad infinita fija.
- Las series de Bell se utilizan para estudiar las propiedades de las funciones aritméticas multiplicativas.
- Los grupos formales se utilizan para definir una ley de grupo abstracta utilizando series de poder formales
- Las series Puiseux son una extensión de la serie Laurent formal, lo que permite exponentes fraccionarios
- Serie racional
Ver también
- Anillo de serie de potencia restringida
Notas
- ^ Para cada serie formal de Laurent distinta de cero, el orden es un número entero (es decir, los grados de los términos están acotados a continuación). Pero el anillo contiene series de todos los pedidos.
Referencias
- ^ Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [Octubre de 2014]. "0,313". En Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. pág. 18. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276 . (También varias ediciones anteriores).
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Otras lecturas
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