En matemáticas , las conjeturas de multiplicidad de Serre , que llevan el nombre de Jean-Pierre Serre , son ciertos problemas puramente algebraicos, en álgebra conmutativa , motivados por las necesidades de la geometría algebraica . Desde la definición inicial de André Weil de los números de intersección , alrededor de 1949, se planteó la cuestión de cómo proporcionar una teoría más flexible y computable.
Deje que R sea un (noetheriano, conmutativa) anillo local regular y P y Q sean ideales primos de R . En 1958, Serre se dio cuenta de que las ideas clásicas algebraico-geométricas de multiplicidad podían generalizarse utilizando los conceptos del álgebra homológica . Serre definió la multiplicidad de intersección de R / P y R / Q mediante los functores Tor del álgebra homológica , como
Esto requiere el concepto de la longitud de un módulo , denotado aquí por, y la suposición de que
Sin embargo, si esta idea funcionara, es de suponer que ciertas relaciones clásicas tendrían que seguir manteniéndose. Serre destacó cuatro propiedades importantes. Estos luego se convirtieron en conjeturas, desafiantes en el caso general. (Hay declaraciones más generales de estas conjeturas donde R / P y R / Q se reemplazan por módulos generados finitamente: consulte Álgebra local de Serre para obtener más detalles).
Desigualdad de dimensión
Serre lo demostró para todos los anillos locales habituales. Estableció las siguientes tres propiedades cuando R es de característica igual o de característica mixta y sin ramificar (lo que en este caso significa que la característica del campo de residuos no es un elemento del cuadrado del ideal máximo del anillo local), y conjeturó que tienen en general.
No negatividad
Esto fue probado por Ofer Gabber en 1995.
Desvanecimiento
Si
luego
Esto fue probado en 1985 por Paul C. Roberts , e independientemente por Henri Gillet y Christophe Soulé .
Positividad
Si
luego
Esto permanece abierto.
Ver también
Referencias
- Serre, Jean-Pierre (2000), Álgebra local , Springer Monographs in Mathematics, Berlín: Springer, págs. 106–110, doi : 10.1007 / 978-3-662-04203-8 , ISBN 978-3-642-08590-1, Señor 1771925
- Roberts, Paul (1985), "La desaparición de las multiplicidades de intersección de complejos perfectos", Boletín de la American Mathematical Society , Bull. Amer. Matemáticas. Soc. 13, no. 2, 13 (2): 127–130, doi : 10.1090 / S0273-0979-1985-15394-7 , MR 0799793
- Roberts, Paul (1998), Desarrollos recientes sobre las conjeturas de multiplicidad de Serre: prueba de la conjetura de no negatividad de Gabber , L 'Enseign. Matemáticas. (2) 44, no. 3-4, págs. 305-324, MR 1659224
- Berthelot, Pierre (1997), Altérations de variétés algébriques (d'après AJ de Jong) , Séminaire Bourbaki, vol. 1995/96, Astérisque No. 241, págs. 273–311, MR 1472543
- Gillet, H .; Soulé, C. (1987), "Teoría de la intersección mediante operaciones de Adams.", Inventiones Mathematicae , Invent. Matemáticas. 90, no. 2, 90 (2): 243–277, Bibcode : 1987InMat..90..243G , doi : 10.1007 / BF01388705 , MR 0910201 , S2CID 120635826
- Gabber, O. (1995), No negatividad de las multiplicidades de intersección de serre , Exposé à L'IHES