Ecuación séxtica

Gráfica de una función séxtica, con 6 raíces reales (cruces del eje

x

) y 5 puntos críticos . Dependiendo del número y las ubicaciones verticales de los mínimos y máximos , el séptico podría tener 6, 4, 2 o ninguna raíz real. El número de raíces complejas es igual a 6 menos el número de raíces reales.

En álgebra , un séxtico (o hexic ) polinomio es un polinomio de grado seis. Una ecuación séxtica es una ecuación polinomial de grado seis, es decir, una ecuación cuyo lado izquierdo es un polinomio séxtico y cuyo lado derecho es cero. Más precisamente, tiene la forma:

{\ displaystyle ax ^ {6} + bx ^ {5} + cx ^ {4} + dx ^ {3} + ex ^ {2} + fx + g = 0, \,}

donde $a \neq 0$ y los coeficientes $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $,$ $d$ $,$ $e$ $,$ $f$ $,$ $g$ pueden ser números enteros , números racionales , números reales , números complejos o, más generalmente, miembros de cualquier campo .

Una función séxtica es una función definida por un polinomio séxtico. Debido a que tienen un grado par, las funciones séxticas parecen similares a las funciones cuárticas cuando se grafican, excepto que pueden poseer un máximo local adicional y un mínimo local cada uno. La derivada de una función séxtica es una función quíntica .

Dado que una función séxtica está definida por un polinomio con grado par, tiene el mismo límite infinito cuando el argumento va a infinito positivo o negativo . Si el coeficiente principal $a$ es positivo, entonces la función aumenta a infinito positivo en ambos lados y, por lo tanto, la función tiene un mínimo global. Asimismo, si $a$ es negativo, la función séxtica disminuye a infinito negativo y tiene un máximo global.

Séxticas solucionables

Algunas ecuaciones de sexto grado, como $ax 6 + dx 3 + g = 0$ , se pueden resolver factorizando en radicales, pero otras sexticas no. Évariste Galois desarrolló técnicas para determinar si una ecuación dada podía resolverse mediante radicales que dieron lugar al campo de la teoría de Galois . ^[1]

De la teoría de Galois se deduce que una ecuación séxtica se puede resolver en términos de radicales si y solo si su grupo de Galois está contenido en el grupo de orden 48 que estabiliza una partición del conjunto de raíces en tres subconjuntos de dos raíces o en el grupo de orden 72 que estabiliza una partición del conjunto de raíces en dos subconjuntos de tres raíces.

Hay fórmulas para probar cualquier caso y, si la ecuación se puede resolver, calcular las raíces en términos de radicales. ^[2]

La ecuación séxtica general se puede resolver en términos de funciones de Kampé de Fériet . ^[1] Se puede resolver una clase más restringida de séptica en términos de funciones hipergeométricas generalizadas en una variable utilizando el enfoque de Felix Klein para resolver la ecuación quíntica . ^[1]

Ejemplos de

La curva de Watt , que surgió en el contexto de los primeros trabajos en la máquina de vapor , es una sextica en dos variables.

Un método para resolver la ecuación cúbica implica transformar variables para obtener una ecuación séxtica que tenga términos solo de grados 6, 3 y 0, que se puede resolver como una ecuación cuadrática en el cubo de la variable.

Etimología

El descriptor "séxtico" proviene de la raíz latina para 6 o 6 ("sex-t-"), y el sufijo griego que significa "perteneciente a" ("-ic"). El mucho menos común "hexic" usa el griego tanto para su raíz ( hex- 6) como para su sufijo ( -ik- ). En ambos casos, el prefijo se refiere al grado de la función. A menudo, este tipo de funciones se denominarán simplemente "funciones de sexto grado".

Ver también

La sextica de Cayley
Función cúbica
Ecuación séptica

Referencias

^ a b c Mathworld - Ecuación séxtica
^ TR Hagedorn, fórmulas generales para resolver ecuaciones séxticas resolubles , J. Algebra 233 (2000), 704-757

[Mathworld_-_Sextic_Equation-1] Mathworld - Ecuación séxtica

[2] TR Hagedorn, fórmulas generales para resolver ecuaciones séxticas resolubles , J. Algebra 233 (2000), 704-757

[1]