En matemáticas , el operador Gauss-Kuzmin-Wirsing es el operador de transferencia del mapa de Gauss. Lleva el nombre de Carl Gauss , Rodion Kuzmin y Eduard Wirsing . Ocurre en el estudio de fracciones continuas ; también está relacionada con la función zeta de Riemann .
Relación con los mapas y fracciones continuas
El mapa de Gauss
La función de Gauss (mapa) h es:
dónde:
- denota función de piso
Tiene un número infinito de discontinuidades de salto en x = 1 / n, para enteros positivos n. Es difícil aproximarlo mediante un solo polinomio uniforme. [1]
Operador en los mapas
El operador Gauss-Kuzmin-Wirsing actúa en funciones como
Autovalores del operador
La primera función propia de este operador es
que corresponde a un valor propio de λ 1 = 1. Esta función propia da la probabilidad de que ocurra un número entero dado en una expansión de fracción continua, y se conoce como distribución de Gauss-Kuzmin . Esto se debe en parte a que el mapa de Gauss actúa como un operador de desplazamiento truncado para las fracciones continuas : si
es la representación de fracción continua de un número 0 < x <1, entonces
Se pueden calcular numéricamente valores propios adicionales; el siguiente valor propio es λ 2 = −0,3036630029 ... (secuencia A038517 en la OEIS ) y su valor absoluto se conoce como la constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing . No se conocen formas analíticas para funciones propias adicionales. No se sabe si los valores propios son irracionales .
Organicemos los valores propios del operador Gauss-Kuzmin-Wirsing de acuerdo con un valor absoluto:
Philippe Flajolet y Brigitte Vallée conjeturaron en 1995 que
En 2014, Giedrius Alkauskas demostró esta conjetura. [2] Además, se cumple el siguiente resultado asintótico:
aquí la función está acotado, y es la función zeta de Riemann .
Espectro continuo
Los valores propios forman un espectro discreto, cuando el operador está limitado a actuar sobre funciones en el intervalo unitario de la recta numérica real. En términos más generales, dado que el mapa de Gauss es el operador de turno en el espacio de Baire , el operador GKW también puede verse como un operador en el espacio funcional (considerado como un espacio de Banach , con funciones de base tomadas como funciones indicadoras en los cilindros de la topología del producto ). En el último caso, tiene un espectro continuo, con valores propios en el disco unitario.del plano complejo. Es decir, dado el cilindro, el operador G lo desplaza hacia la izquierda: . Tomando para ser la función del indicador que es 1 en el cilindro (cuando ), y cero en caso contrario, uno tiene eso . Las series
entonces es una función propia con valor propio . Es decir, uno tiene siempre que la suma converja: es decir, cuando .
Surge un caso especial cuando se desea considerar la medida de Haar del operador de turno, es decir, una función que es invariante bajo turnos. Esto viene dado por la medida de Minkowski . Es decir, uno tiene eso. [3]
Relación con la función zeta de Riemann
El operador GKW está relacionado con la función zeta de Riemann . Tenga en cuenta que la función zeta se puede escribir como
lo que implica que
por cambio de variable.
Elementos de la matriz
Considere las expansiones de la serie de Taylor en x = 1 para una función f ( x ) y. Es decir, deja
y escriba lo mismo para g ( x ). La expansión se hace alrededor de x = 1 porque el operador GKW se comporta mal en x = 0. La expansión se hace alrededor de 1-x para que podamos mantener x un número positivo, 0 ≤ x ≤ 1. Entonces el operador GKW actúa sobre los coeficientes de Taylor como
donde los elementos de la matriz del operador GKW están dados por
Este operador está extremadamente bien formado y, por lo tanto, es muy manejable numéricamente. La constante de Gauss-Kuzmin se calcula fácilmente con alta precisión diagonalizando numéricamente la parte superior izquierda n por n . No se conoce ninguna expresión de forma cerrada que diagonalice a este operador; es decir, no se conocen expresiones de forma cerrada para los vectores propios.
Riemann zeta
La zeta de Riemann se puede escribir como
donde el están dados por los elementos de la matriz de arriba:
Al realizar las sumas, se obtiene:
dónde es la constante de Euler-Mascheroni . Estasreproducir el análogo de las constantes de Stieltjes , pero para la expansión factorial descendente . Escribiendo
se obtiene: a 0 = −0.0772156 ... y a 1 = −0.00474863 ... y así sucesivamente. Los valores disminuyen rápidamente pero son oscilatorios. Se pueden realizar algunas sumas explícitas sobre estos valores. Se pueden relacionar explícitamente con las constantes de Stieltjes volviendo a expresar el factorial descendente como un polinomio con coeficientes numéricos de Stirling y luego resolviendo. De manera más general, la zeta de Riemann se puede volver a expresar como una expansión en términos de secuencias de polinomios de Sheffer .
Esta expansión de la zeta de Riemann se investiga en las siguientes referencias. [4] [5] [6] [7] [8] Los coeficientes disminuyen a medida que
Referencias
- ^ Una introducción de posgrado a los métodos numéricos desde el punto de vista del análisis de errores hacia atrás por Corless, Robert, Fillion, Nicolas
- ^ Alkauskas, Giedrius (2012). "Operador de transferencia para el mapa de fracción continua de Gauss. I. Estructura de los valores propios y fórmulas de seguimiento". arXiv : 1210.4083 [ math.NT ].
- ^ Vepstas, Linas (2008). "Sobre la medida de Minkowski". arXiv : 0810.1265 [ matemáticas.DS ].
- ^ Yeremin, A. Yu .; Kaporin, IE; Kerimov, MK (1985). "El cálculo de la función zeta de Riemann en el dominio complejo". Computación de la URSS. Matemáticas. Y Matemáticas. Phys . 25 (2): 111-119. doi : 10.1016 / 0041-5553 (85) 90116-8 .
- ^ Yeremin, A. Yu .; Kaporin, IE; Kerimov, MK (1988). "Cálculo de las derivadas de la función zeta de Riemann en el dominio complejo". Computación de la URSS. Matemáticas. Y Matemáticas. Phys . 28 (4): 115-124. doi : 10.1016 / 0041-5553 (88) 90121-8 .
- ^ Báez-Duarte, Luis (2003). "Una nueva condición necesaria y suficiente para la hipótesis de Riemann". arXiv : matemáticas.NT / 0307215 .
- ^ Báez-Duarte, Luis (2005). "Un criterio secuencial similar a Riesz para la hipótesis de Riemann" . Revista Internacional de Matemáticas y Ciencias Matemáticas . 2005 (21): 3527–3537. doi : 10.1155 / IJMMS.2005.3527 .
- ^ Flajolet, Philippe; Vepstas, Linas (2006). "Sobre las diferencias de los valores Zeta". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 220 (1–2): 58–73. arXiv : matemáticas.CA / 0611332 . Código Bibliográfico : 2008JCoAM.220 ... 58F . doi : 10.1016 / j.cam.2007.07.040 .
Referencias generales
- A. Ya. Khinchin , Continued Fractions , 1935, traducción al inglés University of Chicago Press, 1961 ISBN 0-486-69630-8 (Ver sección 15).
- KI Babenko, Sobre un problema de Gauss , Doklady matemático soviético 19 : 136-140 (1978) MR472746
- KI Babenko y SP Jur'ev, Sobre la discretización de un problema de Gauss , Doklady matemático soviético 19 : 731–735 (1978). SEÑOR499751
- A. Durner, Sobre un teorema de Gauss-Kuzmin-Lévy. Arco. Matemáticas. 58 , 251-256, (1992). SEÑOR1148200
- AJ MacLeod, Valores numéricos de alta precisión del problema de fracciones continuas de Gauss-Kuzmin. Computadoras Matemáticas. Apl. 26 , 37–44, (1993).
- E. Wirsing, sobre el teorema de Gauss-Kuzmin-Lévy y un teorema de tipo Frobenius para espacios funcionales. Acta Arith. 24 , 507-528, (1974). SEÑOR337868
Otras lecturas
- Keith Briggs, Un cálculo preciso de la constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing (2003) (Contiene una colección muy extensa de referencias).
- Phillipe Flajolet y Brigitte Vallée , Sobre la constante Gauss-Kuzmin-Wirsing (1995).
- Linas Vepstas El operador Bernoulli, el operador Gauss-Kuzmin-Wirsing y el Riemann Zeta (2004) (PDF)
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Gauss-Kuzmin-Wirsing Constant" . MathWorld .
- Secuencia OEIS A038517 (Expansión decimal de la constante Gauss-Kuzmin-Wirsing)