Corrección de errores cuánticos

Proceso en computación cuántica

La corrección de errores cuánticos ( QEC ) se utiliza en la computación cuántica para proteger la información cuántica de errores debidos a la decoherencia y otros ruidos cuánticos . La corrección de errores cuánticos es esencial si se quiere lograr un cálculo cuántico tolerante a fallas que pueda lidiar no solo con el ruido en la información cuántica almacenada, sino también con puertas cuánticas defectuosas, preparación cuántica defectuosa y mediciones defectuosas.

La corrección de errores clásica emplea redundancia . La forma más sencilla es almacenar la información varias veces y, si posteriormente se descubre que estas copias no están de acuerdo, simplemente obtenga una mayoría de votos; por ejemplo, supongamos que copiamos un poco tres veces. Suponga además que un error ruidoso corrompe el estado de tres bits de modo que un bit es igual a cero pero los otros dos son iguales a uno. Si asumimos que los errores ruidosos son independientes y ocurren con alguna probabilidad p , lo más probable es que el error sea un error de un solo bit y el mensaje transmitido sea de tres. Es posible que se produzca un error de doble bit y el mensaje transmitido sea igual a tres ceros, pero este resultado es menos probable que el resultado anterior.

No es posible copiar información cuántica debido al teorema de no clonación . Este teorema parece presentar un obstáculo para formular una teoría de la corrección de errores cuánticos. Pero es posible difundir la información de un qubit en un estado altamente entrelazado de varios qubits ( físicos ). Peter Shor descubrió por primera vez este método de formular un código de corrección de errores cuánticos almacenando la información de un qubit en un estado altamente entrelazado de nueve qubits. Un código de corrección de errores cuánticos protege la información cuántica contra errores de forma limitada.

Los códigos clásicos de corrección de errores utilizan una medición de síndrome para diagnosticar qué error corrompe un estado codificado. Luego, puede revertir un error aplicando una operación correctiva basada en el síndrome. La corrección de errores cuánticos también emplea mediciones de síndrome. Realiza una medición de varios qubit que no perturba la información cuántica en el estado codificado, pero recupera información sobre el error. Una medición de síndrome puede determinar si un qubit se ha dañado y, de ser así, cuál. Además, el resultado de esta operación (el síndrome) nos dice no solo qué qubit físico se vio afectado, sino también de qué formas posibles se vio afectado. Esto último es contrario a la intuición a primera vista: dado que el ruido es arbitrario, ¿cómo puede el efecto del ruido ser una de las pocas posibilidades distintas? En la mayoría de los códigos, el efecto es un cambio de bits o un cambio de signo (de la fase ), o ambos (correspondientes a las matrices de Pauli X , Z e Y ). La razón es que la medición del síndrome tiene el efecto proyectivo de una medición cuántica . Entonces, incluso si el error debido al ruido fue arbitrario, se puede expresar como una superposición de operaciones de base : elbase de error (que aquí viene dada por las matrices de Pauli y la identidad ). La medición del síndrome "obliga" al qubit a "decidir" que un cierto "error de Pauli" específico "haya ocurrido", y el síndrome nos dice cuál, de modo que la corrección del error puede permitir que el mismo operador de Pauli actúe de nuevo en el qubit dañado revertir el efecto del error.

La medición del síndrome nos dice todo lo posible sobre el error que ha ocurrido, pero nada en absoluto sobre el valor que está almacenado en el qubit lógico, ya que de lo contrario la medición destruiría cualquier superposición cuántica de este qubit lógico con otros qubits en el cuántico. computadora , lo que evitaría que se use para transmitir información cuántica.

Código de cambio de bits

El código de repetición funciona en un canal clásico, porque los bits clásicos son fáciles de medir y repetir. Este deja de ser el caso de un canal cuántico en el que, debido al teorema de no clonación , ya no es posible repetir un solo qubit tres veces. Para superar esto, se debe utilizar un método diferente propuesto por primera vez por Asher Peres en 1985 ^[1] , como el llamado código flip de tres qubit bits . Esta técnica utiliza medidas de entrelazamiento y síndrome y es comparable en rendimiento con el código de repetición.

Circuito cuántico del código de cambio de bits

Considere la situación en la que queremos transmitir el estado de un solo qubit a través de un canal ruidoso . Supongamos además que este canal invierte el estado del qubit, con probabilidad , o lo deja sin cambios. Por tanto, la acción de sobre una entrada general se puede escribir como .${\displaystyle \vert \psi \rangle }$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )=(1-p)\rho +p\ X\rho X}$

Sea el estado cuántico a transmitir. Sin un protocolo de corrección de errores, el estado transmitido se transmitirá correctamente con probabilidad . Sin embargo, podemos mejorar este número codificando el estado en un mayor número de qubits, de tal manera que se puedan detectar y corregir errores en los qubits lógicos correspondientes . En el caso del código de repetición simple de tres qubit, la codificación consiste en las asignaciones y . El estado de entrada se codifica en el estado . Este mapeo se puede realizar, por ejemplo, usando dos puertas CNOT, entrelazando el sistema con dos qubits auxiliares inicializados en el estado . ^[2] El estado codificado${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle }$${\displaystyle 1-p}$${\displaystyle \vert 0\rangle \rightarrow \vert 0_{L}\rangle \equiv \vert 000\rangle }$${\displaystyle \vert 1\rangle \rightarrow \vert 1_{L}\rangle \equiv \vert 111\rangle }$${\displaystyle \vert \psi \rangle }$${\displaystyle \vert \psi '\rangle =\alpha _{0}\vert 000\rangle +\alpha _{1}\vert 111\rangle }$${\displaystyle \vert 0\rangle }$${\displaystyle \vert \psi '\rangle }$ es lo que ahora pasa por el canal ruidoso.

El canal actúa volteando algún subconjunto (posiblemente vacío) de sus qubits. Ningún qubit se invierte con probabilidad , un solo qubit se invierte con probabilidad , dos qubits se invierten con probabilidad y los tres qubits se invierten con probabilidad . Tenga en cuenta que aquí se hace una suposición adicional sobre el canal: asumimos que actúa por igual e independientemente en cada uno de los tres qubits en los que ahora se codifica el estado. El problema ahora es cómo detectar y corregir tales errores, sin al mismo tiempo corromper el estado transmitido .${\displaystyle \vert \psi '\rangle }$${\displaystyle (1-p)^{3}}$${\displaystyle 3p(1-p)^{2}}$${\displaystyle 3p^{2}(1-p)}$${\displaystyle p^{3}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Comparación de las fidelidades mínimas de salida , con (rojo) y sin (azul) corrección de errores mediante el código flip de tres bits de qubit. Observe cómo, por , el esquema de corrección de errores mejora la fidelidad.${\displaystyle p\leq 1/2}$

Supongamos, por simplicidad, que es lo suficientemente pequeño como para que la probabilidad de que se invierta más de un qubit sea insignificante. Luego, se puede detectar si un qubit se invirtió, sin consultar también los valores que se transmiten , preguntando si uno de los qubits difiere de los demás. Esto equivale a realizar una medición con cuatro resultados diferentes, correspondientes a las siguientes cuatro mediciones proyectivas:${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}&=|000\rangle \langle 000|+|111\rangle \langle 111|,\\P_{1}&=|100\rangle \langle 100|+|011\rangle \langle 011|,\\P_{2}&=|010\rangle \langle 010|+|101\rangle \langle 101|,\\P_{3}&=|001\rangle \langle 001|+|110\rangle \langle 110|.\end{aligned}}}$$

Esto se puede lograr, por ejemplo, midiendo y luego . Esto revela qué qubits son diferentes de qué otros, sin dar al mismo tiempo información sobre el estado de los mismos. Si se obtiene el resultado correspondiente a , no se aplica corrección, mientras que si se observa el resultado correspondiente a , se aplica la puerta Pauli X al -ésimo qubit. Formalmente, este procedimiento de corrección corresponde a la aplicación del siguiente mapa a la salida del canal: ${\displaystyle Z_{1}Z_{2}}$${\displaystyle Z_{2}Z_{3}}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle i}$

$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{\operatorname {corr} }(\rho )=P_{0}\rho P_{0}+\sum _{i=1}^{3}X_{i}P_{i}\rho \,P_{i}X_{i}.}$$

Tenga en cuenta que, si bien este procedimiento corrige perfectamente la salida cuando el canal introduce cero o uno, si se invierte más de un qubit, la salida no se corrige correctamente. Por ejemplo, si se invierten el primer y segundo qubits, la medición del síndrome da el resultado y el tercer qubit se invierte, en lugar de los dos primeros. Para evaluar el rendimiento de este esquema de corrección de errores para una entrada general, podemos estudiar la fidelidad entre la entrada y la salida . Siendo el estado de salida correcto cuando no se invierte más de un qubit, lo que sucede con probabilidad , podemos escribirlo como , donde los puntos denotan componentes de${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle F(\psi ')}$${\displaystyle \vert \psi '\rangle }$${\displaystyle \rho _{\operatorname {out} }\equiv {\mathcal {E}}_{\operatorname {corr} }({\mathcal {E}}(\vert \psi '\rangle \langle \psi '\vert ))}$${\displaystyle \rho _{\operatorname {out} }}$${\displaystyle (1-p)^{3}+3p(1-p)^{2}}$${\displaystyle [(1-p)^{3}+3p(1-p)^{2}]\,\vert \psi '\rangle \langle \psi '\vert +(...)}$${\displaystyle \rho _{\operatorname {out} }}$como resultado de errores no corregidos adecuadamente por el protocolo. Resulta que

$${\displaystyle F(\psi ')=\langle \psi '\vert \rho _{\operatorname {out} }\vert \psi '\rangle \geq (1-p)^{3}+3p(1-p)^{2}=1-3p^{2}+2p^{3}.}$$

Esta fidelidad debe compararse con la fidelidad correspondiente obtenida cuando no se utiliza un protocolo de corrección de errores, que antes se demostró que era igual . Un poco de álgebra muestra que la fidelidad después de la corrección de errores es mayor que la que no tiene para . Tenga en cuenta que esto es consistente con la suposición de trabajo que se hizo al derivar el protocolo (de ser lo suficientemente pequeño).${\displaystyle {1-p}}$${\displaystyle p<1/2}$${\displaystyle p}$

Firmar el código de cambio

Circuito cuántico del código de cambio de fase

Los bits invertidos son el único tipo de error en la computadora clásica, pero existe otra posibilidad de error con las computadoras cuánticas, el cambio de signo. A través de la transmisión en un canal, el signo relativo entre y puede invertirse. Por ejemplo, un qubit en el estado puede tener su signo volteado a ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |-\rangle =(|0\rangle -|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle |+\rangle =(|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}.}$

El estado original del qubit

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha _{0}|+\rangle +\alpha _{1}|-\rangle }$

será cambiado al estado

${\displaystyle |\psi '\rangle =\alpha _{0}|{+}{+}{+}\rangle +\alpha _{1}|{-}{-}{-}\rangle .}$

En la base de Hadamard, los cambios de bits se convierten en cambios de signo y los cambios de signo se convierten en cambios de bits. Sea un canal cuántico que puede causar como máximo un cambio de fase. Luego, el código de cambio de bits de arriba puede recuperarse transformándose en la base Hadamard antes y después de la transmisión .${\displaystyle E_{\text{phase}}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle E_{\text{phase}}}$

Código corto

El canal de error puede inducir un cambio de bit, un cambio de signo (es decir, un cambio de fase) o ambos. Es posible corregir ambos tipos de errores usando un código, y el código Shor hace precisamente eso. De hecho, el código Shor corrige errores arbitrarios de un solo qubit.

Circuito cuántico del código Shor

Sea un canal cuántico que pueda corromper arbitrariamente un solo qubit. Los qubits 1, 4 y 7 son para el código de cambio de signo, mientras que los tres grupos de qubits (1, 2, 3), (4, 5, 6) y (7, 8, 9) están diseñados para el cambio de bits. código. Con el código Shor, un estado de qubit se transformará en el producto de 9 qubits , donde${\displaystyle E}$${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle }$${\displaystyle |\psi '\rangle =\alpha _{0}|0_{S}\rangle +\alpha _{1}|1_{S}\rangle }$

${\displaystyle |0_{S}\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|000\rangle +|111\rangle )\otimes (|000\rangle +|111\rangle )\otimes (|000\rangle +|111\rangle )}$

${\displaystyle |1_{S}\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|000\rangle -|111\rangle )\otimes (|000\rangle -|111\rangle )\otimes (|000\rangle -|111\rangle )}$

Si ocurre un error de inversión de bit en un qubit, el análisis del síndrome se realizará en cada conjunto de estados (1,2,3), (4,5,6) y (7,8,9), luego corrija el error .

Si el grupo de inversión de tres bits (1, 2, 3), (4, 5, 6) y (7, 8, 9) se consideran como tres entradas, entonces el circuito de código Shor se puede reducir como un código de inversión de signo. Esto significa que el código Shor también puede reparar el error de cambio de signo para un solo qubit. ^[3]

El código Shor también puede corregir cualquier error arbitrario (cambio de bit y cambio de signo) en un solo qubit. Si un error es modelado por una transformada unitaria U, que actuará sobre un qubit , entonces puede describirse en la forma${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle U}$

${\displaystyle U=c_{0}I+c_{1}\sigma _{x}+c_{2}\sigma _{y}+c_{3}\sigma _{z}}$

donde , , , y son constantes complejas, I es la identidad, y las matrices de Pauli están dadas por${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{3}}$

${\displaystyle \sigma _{x}={\biggl (}{\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}}{\biggr )};}$

${\displaystyle \sigma _{y}={\biggl (}{\begin{matrix}0&-i\\i&0\end{matrix}}{\biggr )};}$

${\displaystyle \sigma _{z}={\biggl (}{\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}}{\biggr )}}$

Si U es igual a I, no se produce ningún error. Si , se produce un error de cambio de bit. Si , se produce un error de giro de letrero. Si entonces ocurren tanto un error de inversión de bit como un error de inversión de signo. Debido a la linealidad, se deduce que el código Shor puede corregir errores arbitrarios de 1 qubit. ^{[ aclaración necesaria ]}${\displaystyle U=\sigma _{x}}$${\displaystyle U=\sigma _{z}}$${\displaystyle U=i\sigma _{y}}$

Códigos bosónicos

Se han hecho varias propuestas para almacenar información cuántica corregible por errores en modos bosónicos. A diferencia de un sistema de dos niveles, un oscilador armónico cuántico tiene infinitos niveles de energía en un solo sistema físico. Los códigos para estos sistemas incluyen cat, ^{[4] [5] [6]} Gottesman-Kitaev-Preskill (GKP), ^[7] y códigos binomiales. ^{[8] [9]} Una idea que ofrecen estos códigos es aprovechar la redundancia dentro de un solo sistema, en lugar de duplicar muchos qubits de dos niveles.

Escrito en la base de Fock , la codificación binomial más simple es

${\displaystyle |0_{L}\rangle ={\frac {|0\rangle +|4\rangle }{\sqrt {2}}},\quad |1_{L}\rangle =|2\rangle ,}$

donde el subíndice L indica un estado "codificado lógicamente". Entonces, si el mecanismo de error dominante del sistema es la aplicación estocástica del operador de descenso bosónico , los estados de error correspondientes son y respectivamente. Dado que las palabras de código involucran solo un número de fotones par, y los estados de error involucran solo un número de fotones impar, los errores se pueden detectar midiendo la paridad del número de fotones del sistema. ^{[8] [10] La} medición de la paridad impar permitirá la corrección mediante la aplicación de una operación unitaria adecuada sin conocimiento del estado lógico específico del qubit. Sin embargo, el código binomial particular anterior no es robusto a la pérdida de dos fotones.${\displaystyle {\hat {a}},}$${\displaystyle |3\rangle }$${\displaystyle |1\rangle ,}$

Códigos generales

En general, un código cuántico para un canal cuántico es un subespacio , donde está el estado del espacio de Hilbert, de modo que existe otro canal cuántico con${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

${\displaystyle ({\mathcal {R}}\circ {\mathcal {E}})(\rho )=\rho \quad \forall \rho =P_{\mathcal {C}}\rho P_{\mathcal {C}},}$

donde es la proyección ortogonal sobre . Aquí se conoce como operación de corrección .${\displaystyle P_{\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Un código no degenerado es aquel para el que diferentes elementos del conjunto de errores corregibles producen resultados linealmente independientes cuando se aplican a elementos del código. Si distintos del conjunto de errores corregibles producen resultados ortogonales, el código se considera puro . ^[11]

Modelos

Con el tiempo, los investigadores han creado varios códigos:

• El código de 9 qubit de Peter Shor , también conocido como el código de Shor, codifica 1 qubit lógico en 9 qubits físicos y puede corregir errores arbitrarios en un solo qubit.
• Andrew Steane encontró un código que hace lo mismo con 7 en lugar de 9 qubits, consulte el código Steane .
• Raymond Laflamme y sus colaboradores encontraron una clase de códigos de 5 qubit que hacen lo mismo, que también tienen la propiedad de ser tolerantes a fallas . Un código de 5 qubit es el código más pequeño posible que protege un solo qubit lógico contra errores de un solo qubit.
• Una generalización de la técnica utilizada por Steane , para desarrollar el código de 7 qubit a partir del código clásico [7, 4] de Hamming , llevó a la construcción de una clase importante de códigos denominados códigos CSS , que llevan el nombre de sus inventores: AR Calderbank , Peter Shor y Andrew Steane . De acuerdo con el límite cuántico de Hamming, codificar un solo qubit lógico y proporcionar una corrección de error arbitraria en un solo qubit requiere un mínimo de 5 qubits físicos.
• Una clase más general de códigos (que abarca el primero) son los códigos estabilizadores descubiertos por Daniel Gottesman ( [1] ) y por AR Calderbank , Eric Rains , Peter Shor y NJA Sloane ( [2] , [3] ); también se denominan códigos aditivos .
• Los códigos Bacon-Shor bidimensionales son una familia de códigos parametrizados por números enteros my n. Hay nm qubits dispuestos en una celosía cuadrada. ^[12]
• Una nueva idea es Alexei Kitaev 's códigos cuánticos topológicos y la idea más general de un ordenador cuántico topológico .
• Todd Brun , Igor Devetak y Min-Hsiu Hsieh también construyeron el formalismo estabilizador asistido por entrelazamiento como una extensión del formalismo estabilizador estándar que incorpora el entrelazamiento cuántico compartido entre un emisor y un receptor.

Que estos códigos permitan de hecho cálculos cuánticos de longitud arbitraria es el contenido del teorema del umbral cuántico , encontrado por Michael Ben-Or y Dorit Aharonov , que afirma que puede corregir todos los errores si concatena códigos cuánticos como los códigos CSS: es decir, volver a codificar cada qubit lógico con el mismo código, y así sucesivamente, en muchos niveles logarítmicamente, siempre que la tasa de error de las puertas cuánticas individuales esté por debajo de un cierto umbral; de lo contrario, los intentos de medir el síndrome y corregir los errores introducirían más errores nuevos de los que corrigen.

A finales de 2004, las estimaciones de este umbral indicaban que podría llegar al 1-3% ^[13], siempre que haya suficientes qubits disponibles.

Realización experimental

Ha habido varias realizaciones experimentales de códigos basados ​​en CSS. La primera demostración fue con qubits de RMN. ^[14] Posteriormente, se han realizado demostraciones con óptica lineal, ^[15] iones atrapados, ^{[16] [17]} y qubits superconductores ( transmon ). ^[18]

En 2016, por primera vez, se prolongó la vida útil de un bit cuántico mediante el empleo de un código QEC. ^[19] La demostración de corrección de errores se realizó en estados de Schrodinger-cat codificados en un resonador superconductor y empleó un controlador cuántico capaz de realizar operaciones de retroalimentación en tiempo real, incluida la lectura de la información cuántica, su análisis y la corrección de sus errores detectados. El trabajo demostró cómo el sistema con corrección de errores cuánticos alcanza el punto de equilibrio en el que la vida útil de un qubit lógico excede la vida útil de los componentes subyacentes del sistema (los qubits físicos).

También se han implementado otros códigos de corrección de errores, como uno destinado a corregir la pérdida de fotones, la fuente de error dominante en los esquemas de qubit fotónicos. ^{[20] [21]}

Ver también

• Detección y corrección de errores
• Error suave

Referencias

1. Peres, Asher (1985). "Computadoras cuánticas y lógica reversible". Physical Review A . 32 (6): 3266–3276. doi : 10.1103 / PhysRevA.32.3266 .
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3. W.Shor, Peter (1995). "Esquema para reducir la decoherencia en la memoria de la computadora cuántica". Physical Review A . 52 (4): R2493 – R2496. Código Bibliográfico : 1995PhRvA..52.2493S . doi : 10.1103 / PhysRevA.52.R2493 . PMID 9912632 . 
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Enlaces externos

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