Módulo Drinfeld

En matemáticas , un módulo de Drinfeld (o módulo elíptico ) es aproximadamente un tipo especial de módulo sobre un anillo de funciones en una curva sobre un campo finito , generalizando el módulo de Carlitz . En términos generales, proporcionan un campo funcional análogo a la teoría de la multiplicación compleja . Un shtuka (también llamado F-sheaf o chtouca ) es una especie de generalización de un módulo de Drinfeld, que consiste aproximadamente en un paquete de vectores sobre una curva, junto con una estructura adicional que identifica un "giro de Frobenius" del paquete con una "modificación" de ella.

Los módulos de Drinfeld fueron introducidos por Drinfeld ( 1974 ), quien los utilizó para probar las conjeturas de Langlands para GL ₂ de un campo de función algebraica en algunos casos especiales. Más tarde inventó los shtukas y usó shtukas de rango 2 para probar los casos restantes de las conjeturas de Langlands para GL ₂ . Laurent Lafforgue demostró las conjeturas de Langlands para GL _n de un campo de función al estudiar la pila de módulos de shtukas de rango n .

"Shtuka" es una palabra rusa штука que significa "una sola copia", que proviene del sustantivo alemán "Stück", que significa "pieza, elemento o unidad". En ruso, la palabra "shtuka" también se usa en la jerga para un cosa con propiedades conocidas, pero sin nombre en la mente del hablante.

Dejemos ser un campo de característica . El anillo se define como el anillo de polinomios no conmutativos (o retorcidos) sobre , con la multiplicación dada por ${\ Displaystyle L}$ ${\ Displaystyle p> 0}$ ${\ Displaystyle L \ {\ tau \}}$ ${\ Displaystyle a_ {0} + a_ {1} \ tau + a_ {2} \ tau ^ {2} + \ cdots}$ ${\ Displaystyle L}$

Se puede pensar en el elemento como un elemento de Frobenius : de hecho, es un módulo de izquierda , con elementos que actúan como multiplicación y actúan como el endomorfismo de Frobenius de . El anillo también se puede considerar como el anillo de todos los polinomios aditivos (absolutamente). ${\ Displaystyle \ tau}$ ${\ Displaystyle L}$ ${\ Displaystyle L \ {\ tau \}}$ ${\ Displaystyle L}$ ${\ Displaystyle \ tau}$ ${\ Displaystyle L}$ ${\ Displaystyle L \ {\ tau \}}$

en , donde un polinomio se llama aditivo si (como elementos de ). El anillo de polinomios aditivos se genera como un álgebra sobre el polinomio . La multiplicación en el anillo de polinomios aditivos viene dada por la composición de polinomios, no por la multiplicación de polinomios conmutativos, y no es conmutativa. ${\ Displaystyle L [x]}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y)}$ ${\ Displaystyle L [x, y]}$ ${\ Displaystyle L}$ ${\ Displaystyle \ tau = x ^ {p}}$