En matemáticas , el programa Langlands es una red de conjeturas influyentes y de gran alcance sobre las conexiones entre la teoría de números y la geometría . Propuesto por Robert Langlands ( 1967 , 1970 ), busca relacionar los grupos de Galois en la teoría algebraica de números con formas automórficas y teoría de representación de grupos algebraicos sobre campos locales y adeles.. Ampliamente visto como el proyecto más grande en la investigación matemática moderna, el programa Langlands ha sido descrito por Edward Frenkel como "una especie de gran teoría unificada de las matemáticas". [1]
Fondo
En un contexto muy amplio, el programa se basó en ideas existentes: la filosofía de las formas de cúspide formulada unos años antes por Harish-Chandra y Gelfand ( 1963 ), el trabajo y enfoque de Harish-Chandra sobre grupos de Lie semisimplejos y en términos técnicos la fórmula de trazas de Selberg y otros.
Lo que inicialmente era muy nuevo en el trabajo Langlands', además de la profundidad técnica, fue la conexión directa a la propuesta de la teoría de números, junto con la rica estructura organizativa hipótesis (la llamada functoriality ).
Por ejemplo, en el trabajo de Harish-Chandra uno encuentra el principio de que lo que se puede hacer para un grupo de Mentira semisimple (o reductivo) , debe hacerse para todos. Por lo tanto, una vez que se reconoció el papel de algunos grupos de Lie de baja dimensión como GL (2) en la teoría de las formas modulares, y en retrospectiva GL (1) en la teoría de campos de clases , el camino quedó abierto al menos a especulaciones sobre GL ( n ) para n general > 2.
La idea de la forma de la cúspide surgió de las cúspides de las curvas modulares, pero también tenía un significado visible en la teoría espectral como " espectro discreto ", en contraste con el " espectro continuo " de la serie de Eisenstein . Se vuelve mucho más técnico para grupos de Lie más grandes, porque los subgrupos parabólicos son más numerosos.
En todos estos enfoques no faltaron los métodos técnicos, a menudo de naturaleza inductiva y basados en descomposiciones de Levi, entre otras cuestiones, pero el campo era y es muy exigente. [2]
Y del lado de las formas modulares, hubo ejemplos como las formas modulares de Hilbert , las formas modulares de Siegel y la serie theta .
Objetos
Hay una serie de conjeturas relacionadas con Langlands. Hay muchos grupos diferentes en muchos campos diferentes para los que se pueden establecer, y para cada campo hay varias versiones diferentes de las conjeturas. [3] Algunas versiones [ ¿cuáles? ] de las conjeturas de Langlands son vagas, o dependen de objetos como los grupos de Langlands , cuya existencia no está probada, o del grupo L que tiene varias definiciones no equivalentes. Además, las conjeturas de Langlands han evolucionado desde que Langlands las planteó por primera vez en 1967.
Hay diferentes tipos de objetos para los que se pueden enunciar las conjeturas de Langlands:
- Representaciones de grupos reductivos sobre campos locales (con diferentes subcampos correspondientes a campos locales de Arquímedes, campos locales p -ádicos y finalizaciones de campos de función)
- Formas automórficas en grupos reductivos sobre campos globales (con subcampos correspondientes a campos numéricos o campos de función).
- Campos finitos. Langlands no consideró originalmente este caso, pero sus conjeturas tienen análogos.
- Campos más generales, como campos de función sobre números complejos.
Conjeturas
Hay varias formas diferentes de plantear las conjeturas de Langlands, que están estrechamente relacionadas pero no son obviamente equivalentes.
Reciprocidad
El punto de partida del programa puede verse como la ley de reciprocidad de Emil Artin , que generaliza la reciprocidad cuadrática . La ley de reciprocidad de Artin se aplica a una extensión de Galois de un campo numérico algebraico cuyo grupo de Galois es abeliano ; asigna L -Funciones a las representaciones de una dimensión de este grupo de Galois, y estados que estos L -Funciones son idénticos a ciertos Dirichlet L -series o series más general (es decir, ciertos análogos de la función zeta de Riemann ) construidas a partir de Hecke personajes . La correspondencia precisa entre estos diferentes tipos de funciones L constituye la ley de reciprocidad de Artin.
Para los grupos de Galois no abelianos y representaciones de dimensiones superiores de ellos, uno puede todavía definir L -Funciones de una manera natural: Artin L -Funciones .
La intuición de Langlands fue encontrar la generalización adecuada de las funciones L de Dirichlet , lo que permitiría la formulación de la declaración de Artin en este contexto más general. Hecke había relacionado anteriormente las funciones L de Dirichlet con formas automórficas ( funciones holomórficas en el semiplano superior de(los números complejos ) que satisfacen ciertas ecuaciones funcionales). Langlands luego los generalizó a representaciones cúspides automórficas , que son ciertas representaciones irreducibles de dimensión infinita del grupo lineal general GL ( n ) sobre el anillo de adele de(los números racionales ). (Este anillo realiza un seguimiento simultáneo de todas las finalizaciones dever p -números ádicos .)
Langlands unidos automorfas L -Funciones a estas representaciones automorfas, y conjeturaron que cada Artin L -función que surge de una representación de dimensión finita del grupo de Galois de un campo de número es igual a uno que surge de una representación cuspidal automorphic. Esto se conoce como su " conjetura de reciprocidad ".
En términos generales, la conjetura de reciprocidad da una correspondencia entre las representaciones automorfas de un grupo reductor y homomorfismos de un grupo Langlands a una L -Grupo . Existen numerosas variaciones de esto, en parte porque las definiciones de grupo Langlands y grupo L no son fijas.
Sobre campos locales, se espera que esto dé una parametrización de L -paquetes de representaciones irreductibles admisibles de un grupo reductor sobre el campo local. Por ejemplo, sobre los números reales, esta correspondencia es la clasificación de Langlands de representaciones de grupos reductivos reales. Sobre campos globales , debería dar una parametrización de formas automórficas.
Functorialidad
La conjetura de la funcionalidad establece que se espera que un homomorfismo adecuado de grupos L dé una correspondencia entre formas automórficas (en el caso global) o representaciones (en el caso local). En términos generales, la conjetura de reciprocidad de Langlands es el caso especial de la conjetura de funcionalidad cuando uno de los grupos reductivos es trivial.
Functorialidad generalizada
Langlands generalizó la idea de funcionalidad: en lugar de usar el grupo lineal general GL ( n ), se pueden usar otros grupos reductores conectados . Además, dado un grupo de este tipo G , Langlands construye el dual Langlands grupo L G y, a continuación, para cada representación cuspidal automorphic de G y cada representación de dimensión finita de L G , se define una L -Función. Una de sus conjeturas establece que estas funciones L satisfacen una cierta ecuación funcional generalizando las de otras funciones L conocidas.
Luego pasa a formular un "Principio de funcionalidad" muy general. Dados dos grupos reductores y un morfismo (de buen comportamiento) entre sus grupos L correspondientes , esta conjetura relaciona sus representaciones automórficas de una manera que es compatible con sus funciones L. Esta conjetura de funcionalidad implica todas las demás conjeturas presentadas hasta ahora. Tiene la naturaleza de una construcción de representación inducida , lo que en la teoría más tradicional de las formas automórficas se había llamado un " levantamiento ", conocido en casos especiales, y por lo tanto es covariante (mientras que una representación restringida es contravariante). Los intentos de especificar una construcción directa solo han producido algunos resultados condicionales.
Todas estas conjeturas pueden formularse para campos más generales en lugar de : campos numéricos algebraicos (el caso original y más importante), campos locales y campos de función ( extensiones finitas de F p ( t ) donde p es un primo y F p ( t ) es el campo de funciones racionales sobre el campo finito con p elementos).
Conjeturas geométricas
El llamado programa geométrico de Langlands, propuesto por Gérard Laumon siguiendo las ideas de Vladimir Drinfeld , surge de una reformulación geométrica del habitual programa de Langlands que intenta relacionar algo más que representaciones irreductibles. En casos simples, relaciona representaciones l -ádicas del grupo fundamental étale de una curva algebraica con objetos de la categoría derivada de haces l -ádicos en la pila de módulos de haces de vectores sobre la curva.
Estado actual
Las conjeturas de Langlands para GL (1, K ) se derivan de (y son esencialmente equivalentes a) la teoría de campos de clases .
Langlands demostró las conjeturas de Langlands para grupos en los campos locales de Arquímedes. (los números reales ) ydando la clasificación de Langlands de sus representaciones irreductibles.
La clasificación de Lusztig de las representaciones irreductibles de grupos de tipo Lie sobre campos finitos puede considerarse un análogo de las conjeturas de Langlands para campos finitos.
La prueba de Andrew Wiles de modularidad de curvas elípticas semiestables sobre racionales puede verse como un ejemplo de la conjetura de reciprocidad de Langlands, ya que la idea principal es relacionar las representaciones de Galois que surgen de curvas elípticas con formas modulares. Aunque los resultados de Wiles se han generalizado sustancialmente, en muchas direcciones diferentes, la conjetura completa de Langlands para permanece sin probar.
En 1998, Laurent Lafforgue demostró el teorema de Lafforgue verificar las conjeturas Langlands para el grupo lineal general GL ( n , K ) para la función de los campos K . Este trabajo continuó con las investigaciones anteriores de Drinfeld, quien probó el caso GL (2, K ) en la década de 1980.
En 2018, Vincent Lafforgue estableció la correspondencia global de Langlands (la dirección de las formas automórficas a las representaciones de Galois) para grupos reductores conectados sobre campos de funciones globales. [4] [5] [6]
Conjeturas locales de Langlands
Philip Kutzko ( 1980 ) demostró las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general GL (2, K ) sobre campos locales.
Gérard Laumon , Michael Rapoport , y Ulrich Stuhler ( 1993 ) demostraron las conjeturas Langlands locales para el grupo lineal general GL ( n , K ) para los campos locales característicos positivos K . Su prueba usa un argumento global.
Richard Taylor y Michael Harris ( 2001 ) demostraron las conjeturas Langlands locales para el grupo lineal general GL ( n , K ) para la característica 0 campos locales K . Guy Henniart ( 2000 ) dio otra prueba. Ambas pruebas usan un argumento global. Peter Scholze ( 2013 ) dio otra prueba.
Lema fundamental
En 2008, Ngô Bảo Châu demostró el " lema fundamental ", que fue conjeturado originalmente por Langlands y Shelstad en 1983 y que se requiere en la demostración de algunas conjeturas importantes en el programa Langlands. [7] [8]
Ver también
Correspondencia Jacquet-Langlands
Notas
- ^ "Cuarteto de matemáticas une fuerzas en la teoría unificada" . Quanta . 8 de diciembre de 2015.
- ^ Frenkel, Edward (2013). Amor y matemáticas . ISBN 978-0-465-05074-1.
Todo esto, como dijo mi padre, es bastante pesado: tenemos espacios de módulo de Hitchin, simetría de espejo, A -branes, B -branes, haces automórficos ... Uno puede tener dolor de cabeza simplemente tratando de seguirles la pista. todas. Créame, incluso entre los especialistas, muy pocas personas conocen las tuercas y los tornillos de todos los elementos de esta construcción.
- ^ Frenkel, Edward (2013), Amor y matemáticas: El corazón de la realidad oculta , Libros básicos, p. 77, ISBN 9780465069958,
El Programa Langlands es ahora un tema muy amplio. Hay una gran comunidad de personas que trabajan en él en diferentes campos: teoría de números, análisis armónico, geometría, teoría de la representación, física matemática. Aunque trabajan con objetos muy diferentes, todos están observando fenómenos similares.
- ^ Lafforgue, V. (2018). "Shtukas para grupos reductivos y correspondencia de Langlands para campos de función" . icm2018.org . arXiv : 1803.03791 ."fuente alternativa" (PDF) . math.cnrs.fr .
- ^ Lafforgue, V. (2018). "Chtoucas pour les groupes réductifs et paramétrisation de Langlands" . Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 31 : 719–891. arXiv : 1209.5352 . doi : 10.1090 / jams / 897 . S2CID 118317537 .
- ^ Stroh, B. (enero de 2016). La paramétrisation de Langlands globale sur les corps des fonctions (d'après Vincent Lafforgue) (PDF) . Séminaire Bourbaki 68ème année, 2015–2016, no. 1110, enero de 2016.
- ^ Châu, Ngô Bảo (2010). "Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 111 : 1-169. arXiv : 0801.0446 . doi : 10.1007 / s10240-010-0026-7 . S2CID 118103635 .
- ^ Langlands, Robert P. (1983). "Les débuts d'une formule des traces stable" . UER de Mathématiques. Publicaciones Mathématiques de l'Université Paris [Publicaciones matemáticas de la Universidad de París] . París: Universidad de París. VII (13). Señor 0697567 .
Referencias
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- Gelbart, Stephen (1984), "Una introducción elemental al programa Langlands", Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 10 (2): 177-219, doi : 10.1090 / S0273-0979-1984-15237-6 , ISSN 0002-9904 , MR 0733692
- Frenkel, Edward (2005). "Conferencias sobre el programa Langlands y la teoría del campo conforme". arXiv : hep-th / 0512172 .
- Gelfand, IM (1963), "Funciones automórficas y teoría de las representaciones" , Proc. Internat. Congr. Matemáticos (Estocolmo, 1962) , Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, págs. 74–85, MR 0175997
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- Kutzko, Philip (1980), "La conjetura de Langlands para Gl 2 de un campo local", Annals of Mathematics , 112 (2): 381–412, doi : 10.2307 / 1971151 , JSTOR 1971151
- Langlands, Robert (1967), carta al profesor Weil
- Langlands, RP (1970), "Problemas en la teoría de formas automórficas" , Conferencias sobre análisis y aplicaciones modernas, III , Lecture Notes in Math, 170 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 18–61, doi : 10.1007 / BFb0079065 , ISBN 978-3-540-05284-5, MR 0302614
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- Scholze, Peter (2013), "The Local Langlands Correspondence for GL ( n ) over p -adic fields", Inventiones Mathematicae , 192 (3): 663–715, arXiv : 1010.1540 , Bibcode : 2013InMat.192..663S , doi : 10.1007 / s00222-012-0420-5 , S2CID 15124490
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enlaces externos
- El trabajo de Robert Langlands