En matemáticas , el teorema de Siegel sobre puntos integrales establece que para una curva algebraica suave C de género g definida sobre un cuerpo numérico K , presentado en un espacio afín en un sistema de coordenadas dado, solo hay un número finito de puntos en C con coordenadas en el anillo de enteros O de K , siempre que g > 0.
El teorema fue probado por primera vez en 1929 por Carl Ludwig Siegel y fue el primer resultado importante de las ecuaciones diofánticas que dependían solo del género y no de ninguna forma algebraica especial de las ecuaciones. Para g > 1 fue reemplazado por el teorema de Faltings en 1983.
En 1929, Siegel demostró el teorema combinando una versión del teorema de Thue-Siegel-Roth , de aproximación diofántica , con el teorema de Mordell-Weil de geometría diofántica (requerido en la versión de Weil, para aplicar a la variedad jacobiana de C ).
En 2002, Umberto Zannier y Pietro Corvaja dieron una nueva prueba utilizando un nuevo método basado en el teorema del subespacio . [1]
El resultado de Siegel fue ineficaz (ver resultados efectivos en teoría de números ), ya que el método de Thue en la aproximación diofántica también es ineficaz para describir posibles muy buenas aproximaciones racionales a números algebraicos . Los resultados efectivos en algunos casos se derivan del método de Baker .