En matemáticas, un dominio de Siegel o dominio de Piatetski-Shapiro es un subconjunto abierto especial de espacio afín complejo que generaliza el semiplano superior de Siegel estudiado por Siegel ( 1939 ). Fueron introducidos por Piatetski-Shapiro ( 1959 , 1969 ) en su estudio de dominios homogéneos acotados.
Definiciones
Un dominio Siegel del primer tipo (o primer tipo, o género 1) es el subconjunto abierto de C m de elementos z tal que
donde V es un cono convexo abierto en R m . Estos son casos especiales de dominios de tubo . Un ejemplo es el semiplano superior de Siegel , donde V ⊂ R k ( k + 1) / 2 es el cono de formas cuadráticas definidas positivas en R k y m = k ( k + 1) / 2.
Un dominio Siegel del segundo tipo (o segundo tipo, o género 2), también llamado dominio Piatetski-Shapiro, es el subconjunto abierto de C m × C n de elementos ( z , w ) tal que
donde V es un cono convexo abierto en R m y F es un V -valued forma hermitiana en C n . Si n = 0, este es un dominio de Siegel del primer tipo.
Un dominio de Siegel del tercer tipo (o tercer tipo, o género 3) es el subconjunto abierto de C m × C n × C k de elementos ( z , w , t ) tales que
- y t mentiras en alguna región limitada
donde V es un cono convexo abierto en R m y L t es un V -valued forma semi-hermitiana en C n .
Dominios homogéneos delimitados
Un dominio acotado es un subconjunto acotado conectado abierto de un espacio afín complejo. Se llama homogéneo si su grupo de automorfismos actúa transitivamente, y se llama simétrico si para cada punto hay un automorfismo actuando como –1 en el espacio tangente. Los dominios simétricos delimitados son homogéneos.
Élie Cartan clasificó los dominios delimitados homogéneos en dimensión como máximo 3 (hasta isomorfismo), mostrando que todos son espacios simétricos hermitianos . Hay 1 en la dimensión 1 (la bola unitaria), dos en la dimensión 2 (el producto de dos bolas complejas unidimensionales o una bola compleja bidimensional). Preguntó si todos los dominios homogéneos delimitados son simétricos. Piatetski-Shapiro ( 1959 , 1959b ) respondió a la pregunta de Cartan encontrando un dominio Siegel de tipo 2 en 4 dimensiones que es homogéneo y biholomórfico para un dominio acotado pero no simétrico. En dimensiones al menos 7 hay infinitas familias de dominios acotados homogéneos que no son simétricos.
MI. B. Vinberg, SG Gindikin y II Piatetski-Shapiro ( 1963 ) demostraron que cada dominio homogéneo delimitado es biholomórfico a un dominio Siegel de tipo 1 o 2.
Wilhelm Kaup, Yozô Matsushima y Takushiro Ochiai ( 1970 ) describieron los isomorfismos de los dominios Siegel de los tipos 1 y 2 y el álgebra de Lie de los automorfismos de un dominio Siegel. En particular, dos dominios de Siegel son isomorfos si y solo si son isomorfos por una transformación afín.
j-álgebras
Suponga que G es el álgebra de Lie de un grupo conectado transitivo de automorfismos analíticos de un dominio homogéneo acotado X , y sea K la subálgebra que fija un punto x . Entonces, la estructura casi compleja j en X induce un endomorfismo en el espacio vectorial j de G tal que
- j 2 = –1 en G / K
- [ x , y ] + j [ jx , y ] + j [ x , jy ] - [ jx , jy ] = 0 en G / K ; esto se sigue del hecho de que la estructura casi compleja de X es integrable
- Hay una forma lineal ω en G tal que ω [ jx , jy ] = ω [ x , y ] y ω [ jx , x ]> 0 si x ∉ K
- si L es una subálgebra compacta de G con jL ⊆ K + L entonces L ⊆ K
Un j- álgebra es un álgebra de Lie G con una subálgebra K y un mapa lineal j que satisface las propiedades anteriores.
El álgebra de Lie de un grupo de Lie conectado que actúa transitivamente sobre un dominio acotado homogéneo es un álgebra j , lo cual no es sorprendente ya que se define que las álgebras j tienen las propiedades obvias de dicho álgebra de Lie. Lo contrario también es cierto: cualquier j- álgebra es el álgebra de Lie de algún grupo transitivo de automorfismos de un dominio acotado homogéneo. Esto no da una correspondencia 1: 1 entre dominios acotados homogéneos y j -algebras, porque un dominio acotado homogéneo puede tener varios grupos de Lie diferentes actuando transitivamente sobre él.
Referencias
- Kaup, Wilhelm; Matsushima, Yozô; Ochiai, Takushiro (1970), "Sobre los automorfismos y equivalencias de dominios Siegel generalizados", American Journal of Mathematics , 92 (2): 475–498, doi : 10.2307 / 2373335 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373335 , MR 0267127
- Murakami, Shingo (1972), Sobre automorfismos de dominios Siegel , Lecture Notes in Mathematics, 286 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0058567 , ISBN 978-3-540-05985-1, MR 0364690
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- Piatetski-Shapiro, II (1959b), "Geometría de dominios homogéneos y teoría de funciones automórficas. La solución de un problema de E. Cartan" , Uspekhi Mat. Nauk (en ruso), 14 (3): 190-192
- Piatetski-Shapiro, II (1963), "Dominios del tipo de semiplano superior en la teoría de varias variables complejas" , Proc. Internat. Congr. Matemáticos (Estocolmo, 1962) (en ruso), Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, págs. 389–396, MR 0176105 , archivado desde el original el 17 de julio de 2011
- Piatetski-Shapiro, II (1969) [1961], Funciones automórficas y geometría de dominios clásicos , Matemáticas y sus aplicaciones, 8 , Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers, ISBN 9780677203102, MR 0136770
- Siegel, Carl Ludwig (1939), "Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades", Mathematische Annalen , 116 : 617–657, doi : 10.1007 / BF01597381 , ISSN 0025-5831 , MR 0001251 , S2CID 124337559
- Vinberg, EB (2001) [1994], "Dominio Siegel" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Vinberg, È. B.; Gindikin, SG; Piatetski-Shapiro, II (1963), "Clasificación y realización canónica de dominios delimitados homogéneos complejos", Trudy Moskovskogo Matematičeskogo Obščestva , 12 : 359–388, ISSN 0134-8663 , MR 0158415Hay una traducción al inglés en el apéndice de ( Piatetski-Shapiro 1969 ).
- Xu, Yichao (2005), Teoría de dominios acotados homogéneos complejos , Matemáticas y sus aplicaciones, 569 , Beijing: Science Press, ISBN 978-1-4020-2132-9, MR 2217650